Нарисуйте диаграмму Венна и по областям решите, что относится к множеству, заданному выражением.
В задачах на подсчёт заполняйте области от центра к краям: сначала все множества, затем пары, затем отдельные множества, затем внешнюю область.
Используйте формулу включений и исключений как проверку: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для отношения проверяйте каждое свойство на каждой паре и приводите один контрпример, если свойство не выполняется.
Для функции посчитайте стрелки, приходящие в каждый элемент B: не более одной означает инъективность, не менее одной — сюръективность.
Теория графов
Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij
Метод
Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).
Теория чисел и модульная арифметика
Деление с остатком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклид
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Наименьшее общее кратное
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обратная матрица
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Линейное сравнение
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функция Эйлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Сначала приведите каждое число по модулю n; остатки лежат от 0 до n − 1.
Для НОД делите с остатком по алгоритму Евклида; последний ненулевой остаток и есть НОД.
Для обратного элемента запустите расширенный алгоритм и возьмите коэффициент при a; если он отрицательный, прибавьте n.
Решайте a·x ≡ b умножением на a⁻¹; два сравнения объединяйте, записывая x = r₁ + m₁k.
Для степеней запишите показатель в двоичном виде и многократно возводите в квадрат; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), где φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Тренировочные задачи
1.Логика высказываний и доказательстваСредняя
Является ли (b → a) ↔ (a → b) тавтологией, противоречием или нейтральной формулой? Нажмите на ваш ответ.
(b → a) ↔ (a → b)
1тавтология
2противоречие
3нейтральная формула
2.Логика высказываний и доказательстваСложная
Какое утверждение эквивалентно ¬∃x (F(x) ∧ G(x)), если отрицание перенесено полностью внутрь? Нажмите на него.
¬∃x (F(x) ∧ G(x))
1∀x (F(x) ∧ ¬G(x))
2∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
3∀x (F(x) → ¬G(x))
4∃x (F(x) → ¬G(x))
3.Множества, отношения и функцииСредняя
Отношение R на {1, 2, 3} нарисовано как ориентированный граф (петля означает (x, x) ∈ R). Выполняется ровно одно из четырёх свойств. Нажмите на него.
Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K6? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.
K6
H =
6.Теория графовСложная
С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.
начало: Aконец: F
d(F) =
7.Теория чисел и модульная арифметикаСредняя
Найдите обратный к 42 по модулю 53: число x, для которого 0 < x < 53 и 42·x ≡ 1 (mod 53).
a = 42n = 53
42−1 mod 53 =
8.Теория чисел и модульная арифметикаСложная
Сколько решений, N, имеет сравнение 39x ≡ 6 (mod 45) среди {0, 1, …, 44}?
39x ≡ 6 (mod 45)
N =
3Растворы
1.Логика высказываний и доказательства
Ответ: нейтральная формула
Логическая эквивалентность: две формулы эквивалентны (≡), если в каждой строке таблицы истинности они имеют одинаковое значение. Тавтология равна 1 в каждой строке, противоречие равно 0 в каждой строке, а нейтральная формула (contingency) — ни то ни другое. Полезные законы: законы де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b и ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиция); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а также законы дистрибутивности, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Таблица истинности по строкам
a = 1, b = 1: b → a = 1, a → b = 1, (b → a) ↔ (a → b) = 1
a = 1, b = 0: b → a = 1, a → b = 0, (b → a) ↔ (a → b) = 0
a = 0, b = 1: b → a = 0, a → b = 1, (b → a) ↔ (a → b) = 0
a = 0, b = 0: b → a = 1, a → b = 1, (b → a) ↔ (a → b) = 1
Классификация
(b → a) ↔ (a → b): 1, 0, 0, 1
1 в 2 из 4 строк, 0 в остальных: нейтральная формула.
Ответ
нейтральная формула
2.Логика высказываний и доказательства
Ответ: ∀x (F(x) → ¬G(x))
Кванторы и рассуждения: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) и ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносите отрицание внутрь, меняйте каждый квантор, через который оно проходит, и отрицайте внутреннюю формулу по законам логики высказываний, например ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Рассуждение правильно, если вывод равен 1 в каждой строке, где все посылки равны 1. Одной строки с истинными посылками и ложным выводом достаточно, чтобы получить контрпример и показать, что рассуждение неправильно.
Перенесите отрицание внутрь
¬∃x (F(x) ∧ G(x)) ≡ ∀x (F(x) → ¬G(x))
Ответ
∀x (F(x) → ¬G(x))
Остальные варианты либо оставляют какой-то квантор без изменения, либо меняют порядок кванторов, либо неверно отрицают внутреннюю формулу.
3.Множества, отношения и функции
Ответ: симметричная
Отношения: отношение R на множестве X — это множество упорядоченных пар (x, y). R рефлексивно, если (x, x) ∈ R для каждого x из X; симметрично, если вместе с (x, y) ∈ R всегда есть (y, x) ∈ R; антисимметрично, если (x, y) и (y, x) одновременно лежат в R только при x = y; и транзитивно, если из (x, y) и (y, z) в R следует (x, z) ∈ R. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно и разбивает X на непересекающиеся классы.
рефлексивно
не выполняется: (1, 1) ∉ R
симметричная
выполняется
антисимметрично
не выполняется: (1, 2), (2, 1) ∈ R
транзитивно
не выполняется: (1, 2), (2, 1) ∈ R, (1, 1) ∉ R
Ответ
симметричная
4.Множества, отношения и функции
Ответ: (f ∘ g)(1) = 1
Функции и подсчёт: функция f: A → B ставит каждому элементу A в соответствие ровно один образ в B. f инъективна (взаимно однозначна в одну сторону), если разные элементы имеют разные образы, сюръективна (на), если каждый элемент B является образом, и биективна, если выполнено и то и другое. При |A| = m и |B| = n существует nᵐ функций, n!/(n − m)! инъективных (m ≤ n) и по формуле включений и исключений Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюръективных. |𝒫(A)| = 2ᵐ и |A × B| = m·n.
Внутренняя функция
g(1) = 1
Внешняя функция
f(1) = 1
(f ∘ g)(1) = 1
Ответ
(f ∘ g)(1) = 1
5.Теория графов
Ответ: H = 60
Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.
Посчитайте
H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60
Ответ
H = 60
6.Теория графов
Ответ: d(F) = 29
Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.
Алгоритм Дейкстры по шагам
В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.
A (0): B: 14
B (14): C: 19, D: 23, G: 20
C (19): E: 30
G (20): E: 25
D (23): F: 29
E (25)
F (29)
Кратчайший путь
A → B → D → F
d(F) = 29
Ответ
d(F) = 29
7.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: 42−1 mod 53 = 24
Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Расширенный алгоритм Евклида
Каждый остаток r записывается как r ≡ t·42 (mod 53).
r = 53, t = 0
r = 42, q = 1, t = 1
r = 11, q = 3, t = −1
r = 9, q = 1, t = 4
r = 2, q = 4, t = −5
r = 1, q = 2, t = 24
Обратная матрица
1 ≡ 24·42 (mod 53)
x = 24
проверка: 42·24 = 1008 = 19·53 + 1
Ответ
42−1 mod 53 = 24
8.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: N = 3
Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).