Нарисуйте диаграмму Венна и по областям решите, что относится к множеству, заданному выражением.
В задачах на подсчёт заполняйте области от центра к краям: сначала все множества, затем пары, затем отдельные множества, затем внешнюю область.
Используйте формулу включений и исключений как проверку: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для отношения проверяйте каждое свойство на каждой паре и приводите один контрпример, если свойство не выполняется.
Для функции посчитайте стрелки, приходящие в каждый элемент B: не более одной означает инъективность, не менее одной — сюръективность.
Теория графов
Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij
Метод
Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).
Теория чисел и модульная арифметика
Деление с остатком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклид
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Наименьшее общее кратное
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обратная матрица
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Линейное сравнение
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функция Эйлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Сначала приведите каждое число по модулю n; остатки лежат от 0 до n − 1.
Для НОД делите с остатком по алгоритму Евклида; последний ненулевой остаток и есть НОД.
Для обратного элемента запустите расширенный алгоритм и возьмите коэффициент при a; если он отрицательный, прибавьте n.
Решайте a·x ≡ b умножением на a⁻¹; два сравнения объединяйте, записывая x = r₁ + m₁k.
Для степеней запишите показатель в двоичном виде и многократно возводите в квадрат; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), где φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Тренировочные задачи
1.Логика высказываний и доказательстваСредняя
Вы хотите доказать ¬c → b от противного. Какое утверждение вы предполагаете в начале? Нажмите на него.
¬c → b
1¬¬c → ¬b
2¬c ∧ ¬b
3¬¬c ∧ ¬b
4¬¬c ∧ b
2.Логика высказываний и доказательстваСложная
Какое утверждение эквивалентно ¬∃x A(x), если отрицание перенесено полностью внутрь? Нажмите на него.
¬∃x A(x)
1∃x ¬A(x)
2∀x A(x)
3∃x A(x)
4∀x ¬A(x)
3.Множества, отношения и функцииСредняя
Из 66 студентов первого курса 47 сдали математику (M), 29 — физику (P) и 28 — химию (C). 19 сдали M и P, 20 сдали M и C, 7 сдали P и C, а 6 сдали все три. Сколько человек входят ровно в два из трёх множеств? Обозначим это число n.
|U| = 66
n =
4.Множества, отношения и функцииСложная
Функции f и g на {1, 2, 3, 4, 5} заданы таблицами. Найдите (f ∘ g)(4).
Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K4? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.
K4
H =
6.Теория графовСложная
Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины B. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 2.
начало: Bk = 2
1ребро AB
2ребро AC
3ребро BC
4ребро BD
5ребро CE
6ребро DE
7ребро BE
7.Теория чисел и модульная арифметикаСредняя
Найдите обратный к 28 по модулю 97: число x, для которого 0 < x < 97 и 28·x ≡ 1 (mod 97).
Логическая эквивалентность: две формулы эквивалентны (≡), если в каждой строке таблицы истинности они имеют одинаковое значение. Тавтология равна 1 в каждой строке, противоречие равно 0 в каждой строке, а нейтральная формула (contingency) — ни то ни другое. Полезные законы: законы де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b и ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиция); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а также законы дистрибутивности, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Части импликации
a = ¬c, b = b
Отрицание импликации
¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = ¬c ∧ ¬b
Ответ
¬c ∧ ¬b
Если предположение приводит к противоречию, импликация должна быть истинной.
2.Логика высказываний и доказательства
Ответ: ∀x ¬A(x)
Кванторы и рассуждения: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) и ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносите отрицание внутрь, меняйте каждый квантор, через который оно проходит, и отрицайте внутреннюю формулу по законам логики высказываний, например ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Рассуждение правильно, если вывод равен 1 в каждой строке, где все посылки равны 1. Одной строки с истинными посылками и ложным выводом достаточно, чтобы получить контрпример и показать, что рассуждение неправильно.
Перенесите отрицание внутрь
¬∃x A(x) ≡ ∀x ¬A(x)
Ответ
∀x ¬A(x)
Остальные варианты либо оставляют какой-то квантор без изменения, либо меняют порядок кванторов, либо неверно отрицают внутреннюю формулу.
3.Множества, отношения и функции
Ответ: n = 28
Множества и диаграммы Венна: A ∪ B содержит элементы из A или B (или из обоих), A ∩ B — элементы из обоих, A − B — элементы A, не лежащие в B, а дополнение A′ — всё из U, что не лежит в A. На диаграмме Венна каждое выражение для множеств является объединением областей, поэтому подсчитывайте его по областям. Формула включений и исключений: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| и |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Центр и пары
M ∩ P ∩ C: 6
M ∩ P только: 19 − 6 = 13
M ∩ C только: 20 − 6 = 14
P ∩ C только: 7 − 6 = 1
Отдельные множества
M только: 47 − 13 − 14 − 6 = 14
P только: 29 − 13 − 1 − 6 = 9
C только: 28 − 14 − 1 − 6 = 7
Ответ
13 + 14 + 1 = 28
Ответ
n = 28
4.Множества, отношения и функции
Ответ: (f ∘ g)(4) = 5
Функции и подсчёт: функция f: A → B ставит каждому элементу A в соответствие ровно один образ в B. f инъективна (взаимно однозначна в одну сторону), если разные элементы имеют разные образы, сюръективна (на), если каждый элемент B является образом, и биективна, если выполнено и то и другое. При |A| = m и |B| = n существует nᵐ функций, n!/(n − m)! инъективных (m ≤ n) и по формуле включений и исключений Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюръективных. |𝒫(A)| = 2ᵐ и |A × B| = m·n.
Внутренняя функция
g(4) = 5
Внешняя функция
f(5) = 5
(f ∘ g)(4) = 5
Ответ
(f ∘ g)(4) = 5
5.Теория графов
Ответ: H = 3
Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.
Посчитайте
H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3
Ответ
H = 3
6.Теория графов
Ответ: ребро CE
Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.
Алгоритм Прима
1. BE (2)
2. CE (6)
3. AB (13)
4. DE (16)
номер ребра 2
CE
Ответ
ребро CE
7.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: 28−1 mod 97 = 52
Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Расширенный алгоритм Евклида
Каждый остаток r записывается как r ≡ t·28 (mod 97).
r = 97, t = 0
r = 28, q = 3, t = 1
r = 13, q = 2, t = −3
r = 2, q = 6, t = 7
r = 1, q = 2, t = −45
Обратная матрица
1 ≡ −45·28 (mod 97)
x = 52
проверка: 28·52 = 1456 = 15·97 + 1
Ответ
28−1 mod 97 = 52
8.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: x = 8
Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).