Нарисуйте диаграмму Венна и по областям решите, что относится к множеству, заданному выражением.
В задачах на подсчёт заполняйте области от центра к краям: сначала все множества, затем пары, затем отдельные множества, затем внешнюю область.
Используйте формулу включений и исключений как проверку: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для отношения проверяйте каждое свойство на каждой паре и приводите один контрпример, если свойство не выполняется.
Для функции посчитайте стрелки, приходящие в каждый элемент B: не более одной означает инъективность, не менее одной — сюръективность.
Теория графов
Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij
Метод
Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).
Теория чисел и модульная арифметика
Деление с остатком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклид
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Наименьшее общее кратное
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обратная матрица
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Линейное сравнение
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функция Эйлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Сначала приведите каждое число по модулю n; остатки лежат от 0 до n − 1.
Для НОД делите с остатком по алгоритму Евклида; последний ненулевой остаток и есть НОД.
Для обратного элемента запустите расширенный алгоритм и возьмите коэффициент при a; если он отрицательный, прибавьте n.
Решайте a·x ≡ b умножением на a⁻¹; два сравнения объединяйте, записывая x = r₁ + m₁k.
Для степеней запишите показатель в двоичном виде и многократно возводите в квадрат; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), где φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Тренировочные задачи
1.Логика высказываний и доказательстваСредняя
Является ли q ↔ ¬q тавтологией, противоречием или нейтральной формулой? Нажмите на ваш ответ.
q ↔ ¬q
1тавтология
2противоречие
3нейтральная формула
2.Логика высказываний и доказательстваСложная
Рассуждение с посылками c ∨ a; c и выводом ¬a неправильно. Нажмите на строку таблицы истинности, которая является контрпримером.
c ∨ ac∴ ¬a
1a = 1, c = 1
2a = 1, c = 0
3a = 0, c = 1
4a = 0, c = 0
3.Множества, отношения и функцииСредняя
В группе из 49 студентов 19 говорят по-французски (F), 28 — по-немецки (G) и 24 — по-испански (S). 12 говорят по-французски и по-немецки, 6 — по-французски и по-испански, 12 — по-немецки и по-испански, а 1 — на всех трёх языках. Сколько человек входят ровно в два из трёх множеств? Обозначим это число n.
|U| = 49
n =
4.Множества, отношения и функцииСложная
Функции f и g на {1, 2, 3, 4, 5} заданы таблицами. Найдите (g ∘ f)(5).
Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K8? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.
K8
H =
6.Теория графовСложная
С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(D) кратчайшего пути от A до D во взвешенном графе.
начало: Aконец: D
d(D) =
7.Теория чисел и модульная арифметикаСредняя
Решите 13x ≡ 31 (mod 43). Укажите решение x, для которого 0 < x < 43.
13x ≡ 31 (mod 43)
x =
8.Теория чисел и модульная арифметикаСложная
47 — простое число. Используйте малую теорему Ферма, чтобы найти 695057 mod 47.
p = 47k = 95057
695057 mod 47 =
3Растворы
1.Логика высказываний и доказательства
Ответ: противоречие
Логическая эквивалентность: две формулы эквивалентны (≡), если в каждой строке таблицы истинности они имеют одинаковое значение. Тавтология равна 1 в каждой строке, противоречие равно 0 в каждой строке, а нейтральная формула (contingency) — ни то ни другое. Полезные законы: законы де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b и ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиция); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а также законы дистрибутивности, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Таблица истинности по строкам
q = 1: ¬q = 0, q ↔ ¬q = 0
q = 0: ¬q = 1, q ↔ ¬q = 0
Классификация
q ↔ ¬q: 0, 0
0 в каждой строке: противоречие.
Ответ
противоречие
2.Логика высказываний и доказательства
Ответ: a = 1, c = 1
Кванторы и рассуждения: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) и ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносите отрицание внутрь, меняйте каждый квантор, через который оно проходит, и отрицайте внутреннюю формулу по законам логики высказываний, например ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Рассуждение правильно, если вывод равен 1 в каждой строке, где все посылки равны 1. Одной строки с истинными посылками и ложным выводом достаточно, чтобы получить контрпример и показать, что рассуждение неправильно.
Посылки и вывод по строкам
a = 1, c = 1: 1 1 | 0
a = 1, c = 0: 1 0 | 0
a = 0, c = 1: 1 1 | 1
a = 0, c = 0: 0 0 | 1
Контрпример
a = 1, c = 1
Ответ
a = 1, c = 1
Рассуждение такой формы выглядит как правильное правило, но одной строки достаточно, чтобы показать, что это не так.
3.Множества, отношения и функции
Ответ: n = 27
Множества и диаграммы Венна: A ∪ B содержит элементы из A или B (или из обоих), A ∩ B — элементы из обоих, A − B — элементы A, не лежащие в B, а дополнение A′ — всё из U, что не лежит в A. На диаграмме Венна каждое выражение для множеств является объединением областей, поэтому подсчитывайте его по областям. Формула включений и исключений: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| и |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Центр и пары
F ∩ G ∩ S: 1
F ∩ G только: 12 − 1 = 11
F ∩ S только: 6 − 1 = 5
G ∩ S только: 12 − 1 = 11
Отдельные множества
F только: 19 − 11 − 5 − 1 = 2
G только: 28 − 11 − 11 − 1 = 5
S только: 24 − 5 − 11 − 1 = 7
Ответ
11 + 5 + 11 = 27
Ответ
n = 27
4.Множества, отношения и функции
Ответ: (g ∘ f)(5) = 4
Функции и подсчёт: функция f: A → B ставит каждому элементу A в соответствие ровно один образ в B. f инъективна (взаимно однозначна в одну сторону), если разные элементы имеют разные образы, сюръективна (на), если каждый элемент B является образом, и биективна, если выполнено и то и другое. При |A| = m и |B| = n существует nᵐ функций, n!/(n − m)! инъективных (m ≤ n) и по формуле включений и исключений Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюръективных. |𝒫(A)| = 2ᵐ и |A × B| = m·n.
Внутренняя функция
f(5) = 4
Внешняя функция
g(4) = 4
(g ∘ f)(5) = 4
Ответ
(g ∘ f)(5) = 4
5.Теория графов
Ответ: H = 2520
Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.
Посчитайте
H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520
Ответ
H = 2520
6.Теория графов
Ответ: d(D) = 16
Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.
Алгоритм Дейкстры по шагам
В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.
A (0): B: 9, C: 14
B (9): D: 16, G: 15
C (14): E: 27
G (15): E: 18
D (16): F: 27
E (18)
F (27)
Кратчайший путь
A → B → D
d(D) = 16
Ответ
d(D) = 16
7.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: x = 9
Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Обратный к 13
r = 43, t = 0
r = 13, q = 3, t = 1
r = 4, q = 3, t = −3
r = 1, q = 4, t = 10
13−1 ≡ 10 (mod 43)
Решите
x ≡ 10·31 = 310 ≡ 9 (mod 43)
проверка: 13·9 = 117 ≡ 31 (mod 43)
Ответ
x = 9
8.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: 695057 mod 47 = 17
Степени по модулю и RSA: вычисляйте aᵏ mod n многократным возведением в квадрат: запишите k в двоичном виде, возводите в квадрат, приводите по модулю после каждого шага и перемножайте те степени, чей бит равен 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, не делящего a, поэтому показатель можно приводить по модулю p − 1. RSA: выберите простые p и q, n = p·q и φ(n) = (p − 1)(q − 1); открытый показатель e взаимно прост с φ(n), а закрытый показатель d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте как c = mᵉ mod n и расшифровывайте как m = cᵈ mod n.