Нарисуйте диаграмму Венна и по областям решите, что относится к множеству, заданному выражением.
В задачах на подсчёт заполняйте области от центра к краям: сначала все множества, затем пары, затем отдельные множества, затем внешнюю область.
Используйте формулу включений и исключений как проверку: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для отношения проверяйте каждое свойство на каждой паре и приводите один контрпример, если свойство не выполняется.
Для функции посчитайте стрелки, приходящие в каждый элемент B: не более одной означает инъективность, не менее одной — сюръективность.
Теория графов
Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij
Метод
Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).
Теория чисел и модульная арифметика
Деление с остатком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклид
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Наименьшее общее кратное
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обратная матрица
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Линейное сравнение
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функция Эйлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Сначала приведите каждое число по модулю n; остатки лежат от 0 до n − 1.
Для НОД делите с остатком по алгоритму Евклида; последний ненулевой остаток и есть НОД.
Для обратного элемента запустите расширенный алгоритм и возьмите коэффициент при a; если он отрицательный, прибавьте n.
Решайте a·x ≡ b умножением на a⁻¹; два сравнения объединяйте, записывая x = r₁ + m₁k.
Для степеней запишите показатель в двоичном виде и многократно возводите в квадрат; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), где φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Тренировочные задачи
1.Логика высказываний и доказательстваСредняя
Какая формула логически эквивалентна p → q? Нажмите на неё.
p → q
1¬p → ¬q
2¬p ∧ q
3q → p
4¬p ∨ q
2.Логика высказываний и доказательстваСложная
Рассуждение с посылками b → c; ¬b и выводом ¬c неправильно. Нажмите на строку таблицы истинности, которая является контрпримером.
b → c¬b∴ ¬c
1b = 1, c = 1
2b = 1, c = 0
3b = 0, c = 1
4b = 0, c = 0
3.Множества, отношения и функцииСредняя
Из 64 студентов первого курса 34 сдали математику (M), 37 — физику (P) и 30 — химию (C). 19 сдали M и P, 13 сдали M и C, 14 сдали P и C, а 5 сдали все три. Сколько человек входят ровно в одно из трёх множеств? Обозначим это число n.
|U| = 64
n =
4.Множества, отношения и функцииСложная
На X = {1, 2, …, 12} отношение x ~ y выполняется, когда x ≡ y (mod 5). Сколько элементов в классе эквивалентности [11]?
X = {1, …, 12}x ~ y ⟺ 5 | (x − y)
|[11]| =
5.Теория графовСредняя
Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.
|V| = 6|E| = 7
1Эйлеров цикл
2Эйлеров путь, не цикл
3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(D) кратчайшего пути от A до D во взвешенном графе.
начало: Aконец: D
d(D) =
7.Теория чисел и модульная арифметикаСредняя
Найдите обратный к 15 по модулю 19: число x, для которого 0 < x < 19 и 15·x ≡ 1 (mod 19).
a = 15n = 19
15−1 mod 19 =
8.Теория чисел и модульная арифметикаСложная
Используйте многократное возведение в квадрат, чтобы найти 1073 mod 19.
a = 10k = 73n = 19
1073 mod 19 =
3Растворы
1.Логика высказываний и доказательства
Ответ: ¬p ∨ q
Логическая эквивалентность: две формулы эквивалентны (≡), если в каждой строке таблицы истинности они имеют одинаковое значение. Тавтология равна 1 в каждой строке, противоречие равно 0 в каждой строке, а нейтральная формула (contingency) — ни то ни другое. Полезные законы: законы де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b и ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиция); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а также законы дистрибутивности, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Закон
a → b равно 0 только при a = 1 и b = 0, поэтому оно совпадает с ¬a ∨ b.
p → q ≡ ¬p ∨ q
Проверка по таблице истинности
p = 1, q = 1: 1 | 1 0 1 1
p = 1, q = 0: 0 | 1 0 1 0
p = 0, q = 1: 1 | 0 1 0 1
p = 0, q = 0: 1 | 1 0 1 1
Ответ
¬p ∨ q
Столбцы после черты — варианты ответа в показанном порядке.
2.Логика высказываний и доказательства
Ответ: b = 0, c = 1
Кванторы и рассуждения: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) и ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносите отрицание внутрь, меняйте каждый квантор, через который оно проходит, и отрицайте внутреннюю формулу по законам логики высказываний, например ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Рассуждение правильно, если вывод равен 1 в каждой строке, где все посылки равны 1. Одной строки с истинными посылками и ложным выводом достаточно, чтобы получить контрпример и показать, что рассуждение неправильно.
Посылки и вывод по строкам
b = 1, c = 1: 1 0 | 0
b = 1, c = 0: 0 0 | 1
b = 0, c = 1: 1 1 | 0
b = 0, c = 0: 1 1 | 1
Контрпример
b = 0, c = 1
Ответ
b = 0, c = 1
Рассуждение такой формы выглядит как правильное правило, но одной строки достаточно, чтобы показать, что это не так.
3.Множества, отношения и функции
Ответ: n = 24
Множества и диаграммы Венна: A ∪ B содержит элементы из A или B (или из обоих), A ∩ B — элементы из обоих, A − B — элементы A, не лежащие в B, а дополнение A′ — всё из U, что не лежит в A. На диаграмме Венна каждое выражение для множеств является объединением областей, поэтому подсчитывайте его по областям. Формула включений и исключений: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| и |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Центр и пары
M ∩ P ∩ C: 5
M ∩ P только: 19 − 5 = 14
M ∩ C только: 13 − 5 = 8
P ∩ C только: 14 − 5 = 9
Отдельные множества
M только: 34 − 14 − 8 − 5 = 7
P только: 37 − 14 − 9 − 5 = 9
C только: 30 − 8 − 9 − 5 = 8
Ответ
7 + 9 + 8 = 24
Ответ
n = 24
4.Множества, отношения и функции
Ответ: |[11]| = 3
Отношения: отношение R на множестве X — это множество упорядоченных пар (x, y). R рефлексивно, если (x, x) ∈ R для каждого x из X; симметрично, если вместе с (x, y) ∈ R всегда есть (y, x) ∈ R; антисимметрично, если (x, y) и (y, x) одновременно лежат в R только при x = y; и транзитивно, если из (x, y) и (y, z) в R следует (x, z) ∈ R. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно и разбивает X на непересекающиеся классы.
Класс
[11] = {1, 6, 11}
|[11]| = 3
Ответ
|[11]| = 3
5.Теория графов
Ответ: Эйлеров путь, не цикл
Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.
Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.
6.Теория графов
Ответ: d(D) = 9
Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.
Алгоритм Дейкстры по шагам
В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.
A (0): B: 5, C: 3
C (3): E: 10, G: 12
B (5): D: 9
D (9)
E (10): F: 12
F (12)
G (12)
Кратчайший путь
A → B → D
d(D) = 9
Ответ
d(D) = 9
7.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: 15−1 mod 19 = 14
Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Расширенный алгоритм Евклида
Каждый остаток r записывается как r ≡ t·15 (mod 19).
r = 19, t = 0
r = 15, q = 1, t = 1
r = 4, q = 3, t = −1
r = 3, q = 1, t = 4
r = 1, q = 3, t = −5
Обратная матрица
1 ≡ −5·15 (mod 19)
x = 14
проверка: 15·14 = 210 = 11·19 + 1
Ответ
15−1 mod 19 = 14
8.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: 1073 mod 19 = 10
Степени по модулю и RSA: вычисляйте aᵏ mod n многократным возведением в квадрат: запишите k в двоичном виде, возводите в квадрат, приводите по модулю после каждого шага и перемножайте те степени, чей бит равен 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, не делящего a, поэтому показатель можно приводить по модулю p − 1. RSA: выберите простые p и q, n = p·q и φ(n) = (p − 1)(q − 1); открытый показатель e взаимно прост с φ(n), а закрытый показатель d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте как c = mᵉ mod n и расшифровывайте как m = cᵈ mod n.