Нарисуйте диаграмму Венна и по областям решите, что относится к множеству, заданному выражением.
В задачах на подсчёт заполняйте области от центра к краям: сначала все множества, затем пары, затем отдельные множества, затем внешнюю область.
Используйте формулу включений и исключений как проверку: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для отношения проверяйте каждое свойство на каждой паре и приводите один контрпример, если свойство не выполняется.
Для функции посчитайте стрелки, приходящие в каждый элемент B: не более одной означает инъективность, не менее одной — сюръективность.
Теория графов
Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij
Метод
Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).
Теория чисел и модульная арифметика
Деление с остатком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклид
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Наименьшее общее кратное
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обратная матрица
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Линейное сравнение
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функция Эйлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Сначала приведите каждое число по модулю n; остатки лежат от 0 до n − 1.
Для НОД делите с остатком по алгоритму Евклида; последний ненулевой остаток и есть НОД.
Для обратного элемента запустите расширенный алгоритм и возьмите коэффициент при a; если он отрицательный, прибавьте n.
Решайте a·x ≡ b умножением на a⁻¹; два сравнения объединяйте, записывая x = r₁ + m₁k.
Для степеней запишите показатель в двоичном виде и многократно возводите в квадрат; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), где φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Тренировочные задачи
1.Логика высказываний и доказательстваСредняя
Какая формула логически эквивалентна q ∧ (r ∨ p)? Нажмите на неё.
q ∧ (r ∨ p)
1(q ∧ r) ∨ (q ∧ p)
2q ∨ (r ∧ p)
3(q ∨ r) ∧ (q ∨ p)
4(q ∧ r) ∨ p
2.Логика высказываний и доказательстваСложная
Какое утверждение эквивалентно ¬∀x ∃y R(x, y), если отрицание перенесено полностью внутрь? Нажмите на него.
¬∀x ∃y R(x, y)
1∀x ∀y ¬R(x, y)
2∃y ∀x ¬R(x, y)
3∃x ∀y ¬R(x, y)
4∀x ∃y ¬R(x, y)
3.Множества, отношения и функцииСредняя
R = {(2, 1), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (4, 2)} — отношение на {1, 2, 3, 4}. Каково наименьшее число k упорядоченных пар, которые нужно добавить к R, чтобы оно стало транзитивным (размер транзитивного замыкания минус |R|)?
R = {(2, 1), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (4, 2)}
k =
4.Множества, отношения и функцииСложная
Отношение эквивалентности R на {1, …, 8} имеет классы {3, 4, 8}, {1, 5, 6, 7}, {2}. Сколько упорядоченных пар содержит R? Обозначим это число |R|.
{3, 4, 8}{1, 5, 6, 7}{2}
|R| =
5.Теория графовСредняя
Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K7? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.
K7
H =
6.Теория графовСложная
Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 3; сама A фиксируется на шаге 1.
начало: Aшаг 3
1A
2B
3C
4D
5E
6F
7G
7.Теория чисел и модульная арифметикаСредняя
Решите 4x ≡ 22 (mod 43). Укажите решение x, для которого 0 < x < 43.
4x ≡ 22 (mod 43)
x =
8.Теория чисел и модульная арифметикаСложная
В ключе RSA p = 19, q = 41 и e = 23. Расшифруйте шифртекст c = 527: найдите сообщение m.
p = 19q = 41e = 23c = 527
m =
3Растворы
1.Логика высказываний и доказательства
Ответ: (q ∧ r) ∨ (q ∧ p)
Логическая эквивалентность: две формулы эквивалентны (≡), если в каждой строке таблицы истинности они имеют одинаковое значение. Тавтология равна 1 в каждой строке, противоречие равно 0 в каждой строке, а нейтральная формула (contingency) — ни то ни другое. Полезные законы: законы де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b и ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиция); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а также законы дистрибутивности, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Закон
∧ дистрибутивно относительно ∨: a ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).
q ∧ (r ∨ p) ≡ (q ∧ r) ∨ (q ∧ p)
Проверка по таблице истинности
p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 0, r = 1: 0 | 0 1 1 1
p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 1
p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 0, q = 1, r = 0: 0 | 0 1 1 0
p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 0 0 0 0
p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0
Ответ
(q ∧ r) ∨ (q ∧ p)
Столбцы после черты — варианты ответа в показанном порядке.
2.Логика высказываний и доказательства
Ответ: ∃x ∀y ¬R(x, y)
Кванторы и рассуждения: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) и ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносите отрицание внутрь, меняйте каждый квантор, через который оно проходит, и отрицайте внутреннюю формулу по законам логики высказываний, например ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Рассуждение правильно, если вывод равен 1 в каждой строке, где все посылки равны 1. Одной строки с истинными посылками и ложным выводом достаточно, чтобы получить контрпример и показать, что рассуждение неправильно.
Перенесите отрицание внутрь
¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)
Ответ
∃x ∀y ¬R(x, y)
Остальные варианты либо оставляют какой-то квантор без изменения, либо меняют порядок кванторов, либо неверно отрицают внутреннюю формулу.
3.Множества, отношения и функции
Ответ: k = 4
Отношения: отношение R на множестве X — это множество упорядоченных пар (x, y). R рефлексивно, если (x, x) ∈ R для каждого x из X; симметрично, если вместе с (x, y) ∈ R всегда есть (y, x) ∈ R; антисимметрично, если (x, y) и (y, x) одновременно лежат в R только при x = y; и транзитивно, если из (x, y) и (y, z) в R следует (x, z) ∈ R. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно и разбивает X на непересекающиеся классы.
Пары для добавления
{(2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}
Посчитайте
k = 4
Ответ
k = 4
4.Множества, отношения и функции
Ответ: |R| = 26
Отношения: отношение R на множестве X — это множество упорядоченных пар (x, y). R рефлексивно, если (x, x) ∈ R для каждого x из X; симметрично, если вместе с (x, y) ∈ R всегда есть (y, x) ∈ R; антисимметрично, если (x, y) и (y, x) одновременно лежат в R только при x = y; и транзитивно, если из (x, y) и (y, z) в R следует (x, z) ∈ R. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно и разбивает X на непересекающиеся классы.
Пары по классам
|R| = 3² + 4² + 1² = 26
Ответ
|R| = 26
5.Теория графов
Ответ: H = 360
Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.
Посчитайте
H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360
Ответ
H = 360
6.Теория графов
Ответ: C
Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.
Алгоритм Дейкстры по шагам
1. A (0): B: 10, C: 15
2. B (10): C: 11, G: 13
3. C (11): E: 18
4. G (13): D: 20
5. E (18)
6. D (20): F: 21
7. F (21)
шаг 3
C
Ответ
C
7.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: x = 27
Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Обратный к 4
r = 43, t = 0
r = 4, q = 10, t = 1
r = 3, q = 1, t = −10
r = 1, q = 3, t = 11
4−1 ≡ 11 (mod 43)
Решите
x ≡ 11·22 = 242 ≡ 27 (mod 43)
проверка: 4·27 = 108 ≡ 22 (mod 43)
Ответ
x = 27
8.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: m = 545
Степени по модулю и RSA: вычисляйте aᵏ mod n многократным возведением в квадрат: запишите k в двоичном виде, возводите в квадрат, приводите по модулю после каждого шага и перемножайте те степени, чей бит равен 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, не делящего a, поэтому показатель можно приводить по модулю p − 1. RSA: выберите простые p и q, n = p·q и φ(n) = (p − 1)(q − 1); открытый показатель e взаимно прост с φ(n), а закрытый показатель d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте как c = mᵉ mod n и расшифровывайте как m = cᵈ mod n.