Нарисуйте диаграмму Венна и по областям решите, что относится к множеству, заданному выражением.
В задачах на подсчёт заполняйте области от центра к краям: сначала все множества, затем пары, затем отдельные множества, затем внешнюю область.
Используйте формулу включений и исключений как проверку: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для отношения проверяйте каждое свойство на каждой паре и приводите один контрпример, если свойство не выполняется.
Для функции посчитайте стрелки, приходящие в каждый элемент B: не более одной означает инъективность, не менее одной — сюръективность.
Теория графов
Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij
Метод
Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).
Теория чисел и модульная арифметика
Деление с остатком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклид
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Наименьшее общее кратное
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обратная матрица
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Линейное сравнение
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функция Эйлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Сначала приведите каждое число по модулю n; остатки лежат от 0 до n − 1.
Для НОД делите с остатком по алгоритму Евклида; последний ненулевой остаток и есть НОД.
Для обратного элемента запустите расширенный алгоритм и возьмите коэффициент при a; если он отрицательный, прибавьте n.
Решайте a·x ≡ b умножением на a⁻¹; два сравнения объединяйте, записывая x = r₁ + m₁k.
Для степеней запишите показатель в двоичном виде и многократно возводите в квадрат; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), где φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Тренировочные задачи
1.Логика высказываний и доказательстваСредняя
Какая формула логически эквивалентна b ↔ c? Нажмите на неё.
b ↔ c
1(b → c) ∧ (¬c → ¬b)
2(b → c) ∧ (c → b)
3b ∧ c
4(b → c) ∨ (c → b)
2.Логика высказываний и доказательстваСложная
В скольких из 16 строк таблицы истинности (¬(s ∨ ¬r) → q) ∧ (¬(r ∨ ¬p) ∧ (q → ¬s)) истинно? Обозначим это число N.
(¬(s ∨ ¬r) → q) ∧ (¬(r ∨ ¬p) ∧ (q → ¬s))
N =
3.Множества, отношения и функцииСредняя
R = {(2, 3), (3, 1), (3, 3)} — отношение на {1, 2, 3}. Каково наименьшее число k упорядоченных пар, которые нужно добавить к R, чтобы оно стало транзитивным (размер транзитивного замыкания минус |R|)?
R = {(2, 3), (3, 1), (3, 3)}
k =
4.Множества, отношения и функцииСложная
Функции f и g на {1, 2, 3, 4, 5} заданы таблицами. Найдите (f ∘ f)(2).
У дерева 2 вершин степени 3, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?
2 × deg 3
L =
6.Теория графовСложная
С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.
начало: Aконец: F
d(F) =
7.Теория чисел и модульная арифметикаСредняя
Решите 17x ≡ 1 (mod 23). Укажите решение x, для которого 0 < x < 23.
17x ≡ 1 (mod 23)
x =
8.Теория чисел и модульная арифметикаСложная
Используйте многократное возведение в квадрат, чтобы найти 59167 mod 80.
a = 59k = 167n = 80
59167 mod 80 =
3Растворы
1.Логика высказываний и доказательства
Ответ: (b → c) ∧ (c → b)
Логическая эквивалентность: две формулы эквивалентны (≡), если в каждой строке таблицы истинности они имеют одинаковое значение. Тавтология равна 1 в каждой строке, противоречие равно 0 в каждой строке, а нейтральная формула (contingency) — ни то ни другое. Полезные законы: законы де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b и ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиция); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а также законы дистрибутивности, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Закон
a ↔ b означает, что импликация выполняется в обе стороны: (a → b) ∧ (b → a).
b ↔ c ≡ (b → c) ∧ (c → b)
Проверка по таблице истинности
b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1
b = 1, c = 0: 0 | 0 0 0 1
b = 0, c = 1: 0 | 1 0 0 1
b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 1
Ответ
(b → c) ∧ (c → b)
Столбцы после черты — варианты ответа в показанном порядке.
2.Логика высказываний и доказательства
Ответ: N = 3
Таблицы истинности: у формулы с n различными переменными 2ⁿ строк, по одной для каждой комбинации значений истинности (1 = истина, 0 = ложь). Работайте изнутри наружу и отводите каждой подформуле отдельный столбец. ¬a меняет значение на противоположное; a ∧ b равно 1 только тогда, когда оба равны 1; a ∨ b равно 0 только тогда, когда оба равны 0; a → b равно 0 только при a = 1 и b = 0; a ↔ b равно 1, когда обе части равны.
Отношения: отношение R на множестве X — это множество упорядоченных пар (x, y). R рефлексивно, если (x, x) ∈ R для каждого x из X; симметрично, если вместе с (x, y) ∈ R всегда есть (y, x) ∈ R; антисимметрично, если (x, y) и (y, x) одновременно лежат в R только при x = y; и транзитивно, если из (x, y) и (y, z) в R следует (x, z) ∈ R. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно и разбивает X на непересекающиеся классы.
Пары для добавления
{(2, 1)}
Посчитайте
k = 1
Ответ
k = 1
4.Множества, отношения и функции
Ответ: (f ∘ f)(2) = 2
Функции и подсчёт: функция f: A → B ставит каждому элементу A в соответствие ровно один образ в B. f инъективна (взаимно однозначна в одну сторону), если разные элементы имеют разные образы, сюръективна (на), если каждый элемент B является образом, и биективна, если выполнено и то и другое. При |A| = m и |B| = n существует nᵐ функций, n!/(n − m)! инъективных (m ≤ n) и по формуле включений и исключений Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюръективных. |𝒫(A)| = 2ᵐ и |A × B| = m·n.
Внутренняя функция
f(2) = 2
Внешняя функция
f(2) = 2
(f ∘ f)(2) = 2
Ответ
(f ∘ f)(2) = 2
5.Теория графов
Ответ: L = 4
Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.
Лемма о рукопожатиях для дерева
L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4
Ответ
L = 4
Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.
6.Теория графов
Ответ: d(F) = 20
Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.
Алгоритм Дейкстры по шагам
В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.
A (0): B: 14
B (14): C: 18, D: 19, G: 22
C (18): E: 26
D (19): F: 20
F (20)
G (22)
E (26)
Кратчайший путь
A → B → D → F
d(F) = 20
Ответ
d(F) = 20
7.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: x = 19
Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Обратный к 17
r = 23, t = 0
r = 17, q = 1, t = 1
r = 6, q = 2, t = −1
r = 5, q = 1, t = 3
r = 1, q = 5, t = −4
17−1 ≡ 19 (mod 23)
Решите
x ≡ 19·1 = 19 ≡ 19 (mod 23)
проверка: 17·19 = 323 ≡ 1 (mod 23)
Ответ
x = 19
8.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: 59167 mod 80 = 19
Степени по модулю и RSA: вычисляйте aᵏ mod n многократным возведением в квадрат: запишите k в двоичном виде, возводите в квадрат, приводите по модулю после каждого шага и перемножайте те степени, чей бит равен 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, не делящего a, поэтому показатель можно приводить по модулю p − 1. RSA: выберите простые p и q, n = p·q и φ(n) = (p − 1)(q − 1); открытый показатель e взаимно прост с φ(n), а закрытый показатель d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте как c = mᵉ mod n и расшифровывайте как m = cᵈ mod n.