Нарисуйте диаграмму Венна и по областям решите, что относится к множеству, заданному выражением.
В задачах на подсчёт заполняйте области от центра к краям: сначала все множества, затем пары, затем отдельные множества, затем внешнюю область.
Используйте формулу включений и исключений как проверку: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для отношения проверяйте каждое свойство на каждой паре и приводите один контрпример, если свойство не выполняется.
Для функции посчитайте стрелки, приходящие в каждый элемент B: не более одной означает инъективность, не менее одной — сюръективность.
Теория графов
Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij
Метод
Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).
Теория чисел и модульная арифметика
Деление с остатком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклид
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Наименьшее общее кратное
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обратная матрица
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Линейное сравнение
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функция Эйлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Сначала приведите каждое число по модулю n; остатки лежат от 0 до n − 1.
Для НОД делите с остатком по алгоритму Евклида; последний ненулевой остаток и есть НОД.
Для обратного элемента запустите расширенный алгоритм и возьмите коэффициент при a; если он отрицательный, прибавьте n.
Решайте a·x ≡ b умножением на a⁻¹; два сравнения объединяйте, записывая x = r₁ + m₁k.
Для степеней запишите показатель в двоичном виде и многократно возводите в квадрат; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), где φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Тренировочные задачи
1.Логика высказываний и доказательстваСредняя
Какая формула логически эквивалентна ¬(p ∧ q)? Нажмите на неё.
¬(p ∧ q)
1¬p ∨ q
2¬p ∨ ¬q
3¬p ∧ q
4¬p ∧ ¬q
2.Логика высказываний и доказательстваСложная
Какое утверждение эквивалентно ¬∃x ∀y R(x, y), если отрицание перенесено полностью внутрь? Нажмите на него.
¬∃x ∀y R(x, y)
1∀x ∃y ¬R(x, y)
2∀x ∀y ¬R(x, y)
3∃x ∀y ¬R(x, y)
4∃x ∃y ¬R(x, y)
3.Множества, отношения и функцииСредняя
Опрос 52 человек показал, что ноутбук (L) есть у 18, планшет (T) — у 28, смарт-часы (W) — у 23. L и T есть у 14, L и W — у 5, T и W — у 10, а все три устройства — у 4. Сколько человек не входят ни в одно из трёх множеств?
|U| = 52
|(L ∪ T ∪ W)′| =
4.Множества, отношения и функцииСложная
Стрелочная диаграмма показывает функцию f: A → B, где A = {1, 2} и B = {a, b, c}. Нажмите на описание, подходящее для f.
f = {(1, a), (2, c)}
1инъективна, но не сюръективна
2сюръективна, но не инъективна
3биективна
4ни то, ни другое
5.Теория графовСредняя
У дерева 4 вершин степени 3, 2 вершин степени 4, 4 вершин степени 5, 3 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?
4 × deg 32 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
Сколько существует замкнутых маршрутов длины 2, начинающихся и заканчивающихся в C? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.
M = матрица смежностиL = 2
N =
7.Теория чисел и модульная арифметикаСредняя
Решите 52x ≡ 11 (mod 59). Укажите решение x, для которого 0 < x < 59.
52x ≡ 11 (mod 59)
x =
8.Теория чисел и модульная арифметикаСложная
Используйте многократное возведение в квадрат, чтобы найти 11183 mod 28.
a = 11k = 183n = 28
11183 mod 28 =
3Растворы
1.Логика высказываний и доказательства
Ответ: ¬p ∨ ¬q
Логическая эквивалентность: две формулы эквивалентны (≡), если в каждой строке таблицы истинности они имеют одинаковое значение. Тавтология равна 1 в каждой строке, противоречие равно 0 в каждой строке, а нейтральная формула (contingency) — ни то ни другое. Полезные законы: законы де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b и ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиция); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а также законы дистрибутивности, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Закон
Закон де Моргана: ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b. ∧ превращается в ∨, и обе части отрицаются.
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
Проверка по таблице истинности
p = 1, q = 1: 0 | 1 0 0 0
p = 1, q = 0: 1 | 0 1 0 0
p = 0, q = 1: 1 | 1 1 1 0
p = 0, q = 0: 1 | 1 1 0 1
Ответ
¬p ∨ ¬q
Столбцы после черты — варианты ответа в показанном порядке.
2.Логика высказываний и доказательства
Ответ: ∀x ∃y ¬R(x, y)
Кванторы и рассуждения: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) и ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносите отрицание внутрь, меняйте каждый квантор, через который оно проходит, и отрицайте внутреннюю формулу по законам логики высказываний, например ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Рассуждение правильно, если вывод равен 1 в каждой строке, где все посылки равны 1. Одной строки с истинными посылками и ложным выводом достаточно, чтобы получить контрпример и показать, что рассуждение неправильно.
Перенесите отрицание внутрь
¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)
Ответ
∀x ∃y ¬R(x, y)
Остальные варианты либо оставляют какой-то квантор без изменения, либо меняют порядок кванторов, либо неверно отрицают внутреннюю формулу.
3.Множества, отношения и функции
Ответ: |(L ∪ T ∪ W)′| = 8
Множества и диаграммы Венна: A ∪ B содержит элементы из A или B (или из обоих), A ∩ B — элементы из обоих, A − B — элементы A, не лежащие в B, а дополнение A′ — всё из U, что не лежит в A. На диаграмме Венна каждое выражение для множеств является объединением областей, поэтому подсчитывайте его по областям. Формула включений и исключений: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| и |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Центр и пары
L ∩ T ∩ W: 4
L ∩ T только: 14 − 4 = 10
L ∩ W только: 5 − 4 = 1
T ∩ W только: 10 − 4 = 6
Отдельные множества
L только: 18 − 10 − 1 − 4 = 3
T только: 28 − 10 − 6 − 4 = 8
W только: 23 − 1 − 6 − 4 = 12
Ответ
|L ∪ T ∪ W| = 44
|(L ∪ T ∪ W)′| = 52 − 44 = 8
Ответ
|(L ∪ T ∪ W)′| = 8
4.Множества, отношения и функции
Ответ: инъективна, но не сюръективна
Функции и подсчёт: функция f: A → B ставит каждому элементу A в соответствие ровно один образ в B. f инъективна (взаимно однозначна в одну сторону), если разные элементы имеют разные образы, сюръективна (на), если каждый элемент B является образом, и биективна, если выполнено и то и другое. При |A| = m и |B| = n существует nᵐ функций, n!/(n − m)! инъективных (m ≤ n) и по формуле включений и исключений Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюръективных. |𝒫(A)| = 2ᵐ и |A × B| = m·n.
Инъективна?
каждый элемент B достигается не более одного раза → инъективна
Сюръективна?
b не получает стрелки → не сюръективна
Ответ
инъективна, но не сюръективна
Ответ
инъективна, но не сюръективна
5.Теория графов
Ответ: L = 22
Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.
Лемма о рукопожатиях для дерева
L + 46 = 2(L + 13) − 2
L = 22
Ответ
L = 22
Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.
6.Теория графов
Ответ: N = 3
Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.
Матрица смежности
A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0
Общие соседи
(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3
Ответ
N = 3
7.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: x = 49
Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Обратный к 52
r = 59, t = 0
r = 52, q = 1, t = 1
r = 7, q = 7, t = −1
r = 3, q = 2, t = 8
r = 1, q = 3, t = −17
52−1 ≡ 42 (mod 59)
Решите
x ≡ 42·11 = 462 ≡ 49 (mod 59)
проверка: 52·49 = 2548 ≡ 11 (mod 59)
Ответ
x = 49
8.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: 11183 mod 28 = 15
Степени по модулю и RSA: вычисляйте aᵏ mod n многократным возведением в квадрат: запишите k в двоичном виде, возводите в квадрат, приводите по модулю после каждого шага и перемножайте те степени, чей бит равен 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, не делящего a, поэтому показатель можно приводить по модулю p − 1. RSA: выберите простые p и q, n = p·q и φ(n) = (p − 1)(q − 1); открытый показатель e взаимно прост с φ(n), а закрытый показатель d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте как c = mᵉ mod n и расшифровывайте как m = cᵈ mod n.