Нарисуйте диаграмму Венна и по областям решите, что относится к множеству, заданному выражением.
В задачах на подсчёт заполняйте области от центра к краям: сначала все множества, затем пары, затем отдельные множества, затем внешнюю область.
Используйте формулу включений и исключений как проверку: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для отношения проверяйте каждое свойство на каждой паре и приводите один контрпример, если свойство не выполняется.
Для функции посчитайте стрелки, приходящие в каждый элемент B: не более одной означает инъективность, не менее одной — сюръективность.
Теория графов
Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij
Метод
Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).
Теория чисел и модульная арифметика
Деление с остатком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклид
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Наименьшее общее кратное
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обратная матрица
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Линейное сравнение
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функция Эйлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Сначала приведите каждое число по модулю n; остатки лежат от 0 до n − 1.
Для НОД делите с остатком по алгоритму Евклида; последний ненулевой остаток и есть НОД.
Для обратного элемента запустите расширенный алгоритм и возьмите коэффициент при a; если он отрицательный, прибавьте n.
Решайте a·x ≡ b умножением на a⁻¹; два сравнения объединяйте, записывая x = r₁ + m₁k.
Для степеней запишите показатель в двоичном виде и многократно возводите в квадрат; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), где φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Тренировочные задачи
1.Логика высказываний и доказательстваСредняя
Является ли (b → a) ∨ (a → b) тавтологией, противоречием или нейтральной формулой? Нажмите на ваш ответ.
(b → a) ∨ (a → b)
1тавтология
2противоречие
3нейтральная формула
2.Логика высказываний и доказательстваСложная
Даны посылки r ∨ q; ¬r ∨ p. Какой вывод из них следует? Нажмите на него.
r ∨ q¬r ∨ p
1q ∨ p
2q ∧ p
3¬q
4r ∨ p
3.Множества, отношения и функцииСредняя
В группе из 45 студентов 27 говорят по-французски (F), 25 — по-немецки (G) и 12 — по-испански (S). 15 говорят по-французски и по-немецки, 8 — по-французски и по-испански, 6 — по-немецки и по-испански, а 4 — на всех трёх языках. Сколько человек входят только в F?
|U| = 45
|F − (G ∪ S)| =
4.Множества, отношения и функцииСложная
Отношение эквивалентности R на {1, …, 10} имеет классы {5, 9, 10}, {8}, {1, 2, 6}, {3, 4, 7}. Сколько упорядоченных пар содержит R? Обозначим это число |R|.
{5, 9, 10}{8}{1, 2, 6}{3, 4, 7}
|R| =
5.Теория графовСредняя
Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.
|V| = 6|E| = 8
1Эйлеров цикл
2Эйлеров путь, не цикл
3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.
|V| = 6|E| = 9
W =
7.Теория чисел и модульная арифметикаСредняя
Найдите наименьшее положительное целое x, для которого x ≡ 2 (mod 3) и x ≡ 7 (mod 11).
Логическая эквивалентность: две формулы эквивалентны (≡), если в каждой строке таблицы истинности они имеют одинаковое значение. Тавтология равна 1 в каждой строке, противоречие равно 0 в каждой строке, а нейтральная формула (contingency) — ни то ни другое. Полезные законы: законы де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b и ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиция); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а также законы дистрибутивности, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Таблица истинности по строкам
a = 1, b = 1: b → a = 1, a → b = 1, (b → a) ∨ (a → b) = 1
a = 1, b = 0: b → a = 1, a → b = 0, (b → a) ∨ (a → b) = 1
a = 0, b = 1: b → a = 0, a → b = 1, (b → a) ∨ (a → b) = 1
a = 0, b = 0: b → a = 1, a → b = 1, (b → a) ∨ (a → b) = 1
Классификация
(b → a) ∨ (a → b): 1, 1, 1, 1
1 в каждой строке: тавтология.
Ответ
тавтология
2.Логика высказываний и доказательства
Ответ: q ∨ p
Кванторы и рассуждения: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) и ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносите отрицание внутрь, меняйте каждый квантор, через который оно проходит, и отрицайте внутреннюю формулу по законам логики высказываний, например ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Рассуждение правильно, если вывод равен 1 в каждой строке, где все посылки равны 1. Одной строки с истинными посылками и ложным выводом достаточно, чтобы получить контрпример и показать, что рассуждение неправильно.
Строки, в которых все посылки истинны
p = 1, q = 1, r = 1: q ∨ p = 1, q ∧ p = 1, ¬q = 0, r ∨ p = 1
p = 1, q = 1, r = 0: q ∨ p = 1, q ∧ p = 1, ¬q = 0, r ∨ p = 1
p = 1, q = 0, r = 1: q ∨ p = 1, q ∧ p = 0, ¬q = 1, r ∨ p = 1
p = 0, q = 1, r = 0: q ∨ p = 1, q ∧ p = 0, ¬q = 0, r ∨ p = 0
Вывод
q ∨ p (разрешение)
Ответ
q ∨ p
3.Множества, отношения и функции
Ответ: |F − (G ∪ S)| = 8
Множества и диаграммы Венна: A ∪ B содержит элементы из A или B (или из обоих), A ∩ B — элементы из обоих, A − B — элементы A, не лежащие в B, а дополнение A′ — всё из U, что не лежит в A. На диаграмме Венна каждое выражение для множеств является объединением областей, поэтому подсчитывайте его по областям. Формула включений и исключений: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| и |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Центр и пары
F ∩ G ∩ S: 4
F ∩ G только: 15 − 4 = 11
F ∩ S только: 8 − 4 = 4
G ∩ S только: 6 − 4 = 2
Отдельные множества
F только: 27 − 11 − 4 − 4 = 8
G только: 25 − 11 − 2 − 4 = 8
S только: 12 − 4 − 2 − 4 = 2
Ответ
|F − (G ∪ S)| = 8
Ответ
|F − (G ∪ S)| = 8
4.Множества, отношения и функции
Ответ: |R| = 28
Отношения: отношение R на множестве X — это множество упорядоченных пар (x, y). R рефлексивно, если (x, x) ∈ R для каждого x из X; симметрично, если вместе с (x, y) ∈ R всегда есть (y, x) ∈ R; антисимметрично, если (x, y) и (y, x) одновременно лежат в R только при x = y; и транзитивно, если из (x, y) и (y, z) в R следует (x, z) ∈ R. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно и разбивает X на непересекающиеся классы.
Пары по классам
|R| = 3² + 1² + 3² + 3² = 28
Ответ
|R| = 28
5.Теория графов
Ответ: ни то, ни другое
Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.
Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.
Алгоритм Краскала
DE (2): берём
DF (3): берём
BE (5): берём
BC (7): берём
EF (8): пропускаем, замыкает цикл
AC (11): берём
Суммарный вес
W = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28
Ответ
W = 28
7.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: x = 29
Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Первое сравнение
x = 2 + 3k
Второе сравнение
2 + 3k ≡ 7 (mod 11) → 3k ≡ 5 (mod 11)
k ≡ 4·5 ≡ 9 (mod 11)
Результат
x = 2 + 3·9 = 29
x = 29
проверка: 29 mod 3 = 2, 29 mod 11 = 7
Ответ
x = 29
8.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: x = 5
Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).