Нарисуйте диаграмму Венна и по областям решите, что относится к множеству, заданному выражением.
В задачах на подсчёт заполняйте области от центра к краям: сначала все множества, затем пары, затем отдельные множества, затем внешнюю область.
Используйте формулу включений и исключений как проверку: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для отношения проверяйте каждое свойство на каждой паре и приводите один контрпример, если свойство не выполняется.
Для функции посчитайте стрелки, приходящие в каждый элемент B: не более одной означает инъективность, не менее одной — сюръективность.
Теория графов
Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij
Метод
Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).
Теория чисел и модульная арифметика
Деление с остатком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклид
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Наименьшее общее кратное
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обратная матрица
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Линейное сравнение
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функция Эйлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Сначала приведите каждое число по модулю n; остатки лежат от 0 до n − 1.
Для НОД делите с остатком по алгоритму Евклида; последний ненулевой остаток и есть НОД.
Для обратного элемента запустите расширенный алгоритм и возьмите коэффициент при a; если он отрицательный, прибавьте n.
Решайте a·x ≡ b умножением на a⁻¹; два сравнения объединяйте, записывая x = r₁ + m₁k.
Для степеней запишите показатель в двоичном виде и многократно возводите в квадрат; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), где φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Тренировочные задачи
1.Логика высказываний и доказательстваСредняя
Какая формула логически эквивалентна r → q? Нажмите на неё.
r → q
1q → r
2¬r → ¬q
3¬q ∧ ¬r
4¬q → ¬r
2.Логика высказываний и доказательстваСложная
Даны посылки c ∨ a; ¬c. Какой вывод из них следует? Нажмите на него.
c ∨ a¬c
1c
2c ∧ a
3a
4¬a
3.Множества, отношения и функцииСредняя
Из 62 студентов первого курса 30 сдали математику (M), 21 — физику (P) и 30 — химию (C). 8 сдали M и P, 10 сдали M и C, 13 сдали P и C, а 1 сдали все три. Сколько человек не входят ни в одно из трёх множеств?
|U| = 62
|(M ∪ P ∪ C)′| =
4.Множества, отношения и функцииСложная
Стрелочная диаграмма показывает функцию f: A → B, где A = {1, 2} и B = {a, b, c, d}. Нажмите на описание, подходящее для f.
f = {(1, a), (2, d)}
1инъективна, но не сюръективна
2сюръективна, но не инъективна
3биективна
4ни то, ни другое
5.Теория графовСредняя
Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.
|V| = 5|E| = 5
1Эйлеров цикл
2Эйлеров путь, не цикл
3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 5; пропущенные рёбра не считаются.
k = 5
1ребро AB
2ребро AC
3ребро BC
4ребро BD
5ребро CE
6ребро DE
7ребро DF
8ребро EF
9ребро GB
10ребро GD
11ребро GE
7.Теория чисел и модульная арифметикаСредняя
Решите 9x ≡ 3 (mod 13). Укажите решение x, для которого 0 < x < 13.
9x ≡ 3 (mod 13)
x =
8.Теория чисел и модульная арифметикаСложная
Используйте многократное возведение в квадрат, чтобы найти 7594 mod 88.
a = 75k = 94n = 88
7594 mod 88 =
3Растворы
1.Логика высказываний и доказательства
Ответ: ¬q → ¬r
Логическая эквивалентность: две формулы эквивалентны (≡), если в каждой строке таблицы истинности они имеют одинаковое значение. Тавтология равна 1 в каждой строке, противоречие равно 0 в каждой строке, а нейтральная формула (contingency) — ни то ни другое. Полезные законы: законы де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b и ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиция); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а также законы дистрибутивности, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Закон
Импликация эквивалентна своей контрапозиции ¬b → ¬a, а не обратному утверждению b → a и не противоположному ¬a → ¬b.
r → q ≡ ¬q → ¬r
Проверка по таблице истинности
q = 1, r = 1: 1 | 1 1 0 1
q = 1, r = 0: 1 | 0 0 0 1
q = 0, r = 1: 0 | 1 1 0 0
q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1
Ответ
¬q → ¬r
Столбцы после черты — варианты ответа в показанном порядке.
2.Логика высказываний и доказательства
Ответ: a
Кванторы и рассуждения: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) и ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносите отрицание внутрь, меняйте каждый квантор, через который оно проходит, и отрицайте внутреннюю формулу по законам логики высказываний, например ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Рассуждение правильно, если вывод равен 1 в каждой строке, где все посылки равны 1. Одной строки с истинными посылками и ложным выводом достаточно, чтобы получить контрпример и показать, что рассуждение неправильно.
Строки, в которых все посылки истинны
a = 1, c = 0: c = 0, c ∧ a = 0, a = 1, ¬a = 0
Вывод
a (дизъюнктивный силлогизм)
Ответ
a
3.Множества, отношения и функции
Ответ: |(M ∪ P ∪ C)′| = 11
Множества и диаграммы Венна: A ∪ B содержит элементы из A или B (или из обоих), A ∩ B — элементы из обоих, A − B — элементы A, не лежащие в B, а дополнение A′ — всё из U, что не лежит в A. На диаграмме Венна каждое выражение для множеств является объединением областей, поэтому подсчитывайте его по областям. Формула включений и исключений: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| и |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Центр и пары
M ∩ P ∩ C: 1
M ∩ P только: 8 − 1 = 7
M ∩ C только: 10 − 1 = 9
P ∩ C только: 13 − 1 = 12
Отдельные множества
M только: 30 − 7 − 9 − 1 = 13
P только: 21 − 7 − 12 − 1 = 1
C только: 30 − 9 − 12 − 1 = 8
Ответ
|M ∪ P ∪ C| = 51
|(M ∪ P ∪ C)′| = 62 − 51 = 11
Ответ
|(M ∪ P ∪ C)′| = 11
4.Множества, отношения и функции
Ответ: инъективна, но не сюръективна
Функции и подсчёт: функция f: A → B ставит каждому элементу A в соответствие ровно один образ в B. f инъективна (взаимно однозначна в одну сторону), если разные элементы имеют разные образы, сюръективна (на), если каждый элемент B является образом, и биективна, если выполнено и то и другое. При |A| = m и |B| = n существует nᵐ функций, n!/(n − m)! инъективных (m ≤ n) и по формуле включений и исключений Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюръективных. |𝒫(A)| = 2ᵐ и |A × B| = m·n.
Инъективна?
каждый элемент B достигается не более одного раза → инъективна
Сюръективна?
b, c не получают ни одной стрелки → не сюръективна
Ответ
инъективна, но не сюръективна
Ответ
инъективна, но не сюръективна
5.Теория графов
Ответ: ни то, ни другое
Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.
Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.
Алгоритм Краскала
1. AB (1)
2. DE (3)
3. BC (6)
4. BD (7)
5. DF (10)
6. GE (15)
номер ребра 5
DF
Ответ
ребро DF
7.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: x = 9
Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Обратный к 9
r = 13, t = 0
r = 9, q = 1, t = 1
r = 4, q = 2, t = −1
r = 1, q = 4, t = 3
9−1 ≡ 3 (mod 13)
Решите
x ≡ 3·3 = 9 ≡ 9 (mod 13)
проверка: 9·9 = 81 ≡ 3 (mod 13)
Ответ
x = 9
8.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: 7594 mod 88 = 49
Степени по модулю и RSA: вычисляйте aᵏ mod n многократным возведением в квадрат: запишите k в двоичном виде, возводите в квадрат, приводите по модулю после каждого шага и перемножайте те степени, чей бит равен 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, не делящего a, поэтому показатель можно приводить по модулю p − 1. RSA: выберите простые p и q, n = p·q и φ(n) = (p − 1)(q − 1); открытый показатель e взаимно прост с φ(n), а закрытый показатель d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте как c = mᵉ mod n и расшифровывайте как m = cᵈ mod n.