Нарисуйте диаграмму Венна и по областям решите, что относится к множеству, заданному выражением.
В задачах на подсчёт заполняйте области от центра к краям: сначала все множества, затем пары, затем отдельные множества, затем внешнюю область.
Используйте формулу включений и исключений как проверку: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для отношения проверяйте каждое свойство на каждой паре и приводите один контрпример, если свойство не выполняется.
Для функции посчитайте стрелки, приходящие в каждый элемент B: не более одной означает инъективность, не менее одной — сюръективность.
Теория графов
Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij
Метод
Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).
Теория чисел и модульная арифметика
Деление с остатком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклид
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Наименьшее общее кратное
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обратная матрица
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Линейное сравнение
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функция Эйлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Сначала приведите каждое число по модулю n; остатки лежат от 0 до n − 1.
Для НОД делите с остатком по алгоритму Евклида; последний ненулевой остаток и есть НОД.
Для обратного элемента запустите расширенный алгоритм и возьмите коэффициент при a; если он отрицательный, прибавьте n.
Решайте a·x ≡ b умножением на a⁻¹; два сравнения объединяйте, записывая x = r₁ + m₁k.
Для степеней запишите показатель в двоичном виде и многократно возводите в квадрат; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), где φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Тренировочные задачи
1.Логика высказываний и доказательстваСредняя
Является ли (b ∨ a) → (b ∧ a) тавтологией, противоречием или нейтральной формулой? Нажмите на ваш ответ.
(b ∨ a) → (b ∧ a)
1тавтология
2противоречие
3нейтральная формула
2.Логика высказываний и доказательстваСложная
Какое утверждение эквивалентно ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)), если отрицание перенесено полностью внутрь? Нажмите на него.
¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))
1∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
2∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
3∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
4∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3.Множества, отношения и функцииСредняя
R = {(2, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 1)} — отношение на {1, 2, 3, 4}. Каково наименьшее число k упорядоченных пар, которые нужно добавить к R, чтобы оно стало рефлексивным?
R = {(2, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 1)}
k =
4.Множества, отношения и функцииСложная
Отношение эквивалентности R на {1, …, 7} имеет классы {4, 5, 6}, {1, 2, 3, 7}. Сколько упорядоченных пар содержит R? Обозначим это число |R|.
{4, 5, 6}{1, 2, 3, 7}
|R| =
5.Теория графовСредняя
Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.
|V| = 6|E| = 7
1Эйлеров цикл
2Эйлеров путь, не цикл
3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.
|V| = 7|E| = 10
W =
7.Теория чисел и модульная арифметикаСредняя
Решите 29x ≡ 27 (mod 34). Укажите решение x, для которого 0 < x < 34.
29x ≡ 27 (mod 34)
x =
8.Теория чисел и модульная арифметикаСложная
47 — простое число. Используйте малую теорему Ферма, чтобы найти 258249 mod 47.
p = 47k = 8249
258249 mod 47 =
3Растворы
1.Логика высказываний и доказательства
Ответ: нейтральная формула
Логическая эквивалентность: две формулы эквивалентны (≡), если в каждой строке таблицы истинности они имеют одинаковое значение. Тавтология равна 1 в каждой строке, противоречие равно 0 в каждой строке, а нейтральная формула (contingency) — ни то ни другое. Полезные законы: законы де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b и ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиция); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а также законы дистрибутивности, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Таблица истинности по строкам
a = 1, b = 1: b ∨ a = 1, b ∧ a = 1, (b ∨ a) → (b ∧ a) = 1
a = 1, b = 0: b ∨ a = 1, b ∧ a = 0, (b ∨ a) → (b ∧ a) = 0
a = 0, b = 1: b ∨ a = 1, b ∧ a = 0, (b ∨ a) → (b ∧ a) = 0
a = 0, b = 0: b ∨ a = 0, b ∧ a = 0, (b ∨ a) → (b ∧ a) = 1
Классификация
(b ∨ a) → (b ∧ a): 1, 0, 0, 1
1 в 2 из 4 строк, 0 в остальных: нейтральная формула.
Ответ
нейтральная формула
2.Логика высказываний и доказательства
Ответ: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
Кванторы и рассуждения: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) и ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносите отрицание внутрь, меняйте каждый квантор, через который оно проходит, и отрицайте внутреннюю формулу по законам логики высказываний, например ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Рассуждение правильно, если вывод равен 1 в каждой строке, где все посылки равны 1. Одной строки с истинными посылками и ложным выводом достаточно, чтобы получить контрпример и показать, что рассуждение неправильно.
Остальные варианты либо оставляют какой-то квантор без изменения, либо меняют порядок кванторов, либо неверно отрицают внутреннюю формулу.
3.Множества, отношения и функции
Ответ: k = 3
Отношения: отношение R на множестве X — это множество упорядоченных пар (x, y). R рефлексивно, если (x, x) ∈ R для каждого x из X; симметрично, если вместе с (x, y) ∈ R всегда есть (y, x) ∈ R; антисимметрично, если (x, y) и (y, x) одновременно лежат в R только при x = y; и транзитивно, если из (x, y) и (y, z) в R следует (x, z) ∈ R. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно и разбивает X на непересекающиеся классы.
Пары для добавления
{(1, 1), (3, 3), (4, 4)}
Посчитайте
k = 3
Ответ
k = 3
4.Множества, отношения и функции
Ответ: |R| = 25
Отношения: отношение R на множестве X — это множество упорядоченных пар (x, y). R рефлексивно, если (x, x) ∈ R для каждого x из X; симметрично, если вместе с (x, y) ∈ R всегда есть (y, x) ∈ R; антисимметрично, если (x, y) и (y, x) одновременно лежат в R только при x = y; и транзитивно, если из (x, y) и (y, z) в R следует (x, z) ∈ R. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно и разбивает X на непересекающиеся классы.
Пары по классам
|R| = 3² + 4² = 25
Ответ
|R| = 25
5.Теория графов
Ответ: Эйлеров цикл
Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.
Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.
Алгоритм Краскала
DE (1): берём
BD (2): берём
GE (5): берём
GD (9): пропускаем, замыкает цикл
GC (10): берём
GB (11): пропускаем, замыкает цикл
BC (12): пропускаем, замыкает цикл
DF (16): берём
CE (17): пропускаем, замыкает цикл
AB (19): берём
Суммарный вес
W = 1 + 2 + 5 + 10 + 16 + 19 = 53
Ответ
W = 53
7.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: x = 15
Обратные элементы и сравнения: у a есть обратный по модулю n ровно тогда, когда НОД(a, n) = 1. Расширенный алгоритм Евклида записывает 1 = s·n + t·a, откуда a⁻¹ ≡ t (mod n). Сравнение a·x ≡ b (mod n) при НОД(a, n) = 1 имеет решение x ≡ a⁻¹·b. Два сравнения x ≡ r₁ (mod m₁) и x ≡ r₂ (mod m₂) со взаимно простыми модулями имеют одно решение по модулю m₁·m₂ (китайская теорема об остатках). Функция Эйлера φ(n) считает числа от 1 до n, взаимно простые с n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Обратный к 29
r = 34, t = 0
r = 29, q = 1, t = 1
r = 5, q = 5, t = −1
r = 4, q = 1, t = 6
r = 1, q = 4, t = −7
29−1 ≡ 27 (mod 34)
Решите
x ≡ 27·27 = 729 ≡ 15 (mod 34)
проверка: 29·15 = 435 ≡ 27 (mod 34)
Ответ
x = 15
8.Теория чисел и модульная арифметика
Ответ: 258249 mod 47 = 36
Степени по модулю и RSA: вычисляйте aᵏ mod n многократным возведением в квадрат: запишите k в двоичном виде, возводите в квадрат, приводите по модулю после каждого шага и перемножайте те степени, чей бит равен 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, не делящего a, поэтому показатель можно приводить по модулю p − 1. RSA: выберите простые p и q, n = p·q и φ(n) = (p − 1)(q − 1); открытый показатель e взаимно прост с φ(n), а закрытый показатель d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте как c = mᵉ mod n и расшифровывайте как m = cᵈ mod n.