Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 50 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 50 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 9 m/s с края крыши на высоте 5 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 9 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 4 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 4 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 7 kg на наклонной плоскости под углом 20° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 7 kgm₂ = 5 kgθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 35° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 24 m/s под углом 70° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 5 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 24 m/sθ = 70°h_roof = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль переезжает через вершину бугра на дороге, имеющего форму дуги окружности радиусом 85 m. Примите g = 9,81 m/s². При какой скорости v_max колёса отрываются от дороги на вершине?

r = 85 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Небольшую тележку отпускают без начальной скорости на трассе без трения, и она въезжает в вертикальную петлю радиусом 2 m. С какой наименьшей высоты h_min над нижней точкой петли она должна стартовать, чтобы удержаться на трассе в верхней точке петли?

R = 2 mv₀ = 0

h_min = m

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1000 kg въезжает на подъём 3° с постоянной скоростью 54 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 300 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1000 kgθ = 3°F_r = 300 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 4 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 2500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 4 kgh = 2 mL = 1 mμ = 0,3k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 0,5 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 0,5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 900 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1700 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 24,5 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 900 kgm₂ = 1700 kgd = 24,5 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Маховик с моментом инерции 37,5 kg·m² вращается с частотой 1900 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 115 N·m. За какое время t он остановится?

I = 37,5 kg·m²n = 1900 rpmT_b = 115 N·m

t = s

14.Вращение твёрдого телаСложная

полый шар массой 2,5 kg катится без проскальзывания со скоростью 5 m/s. Найдите его полную кинетическую энергию E_k.

m = 2,5 kgv = 5 m/sI = (2/3)·m·r²

E_k = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Два параллельных вала расположены на расстоянии 108 mm. Их нужно соединить парой прямозубых колёс с модулем 1,5 mm и передаточным отношением 5 : 1 (понижающая передача). Сколько зубьев N₁ должна иметь шестерня?

a = 108 mmm = 1,5 mmi = 5

N₁ =

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 15 kW с частотой 1450 rpm приводит колесо A (12 зубьев), которое зацепляется с колесом B (30 зубьев). Колесо C (16 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (24 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 98%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 15 kWn_in = 1450 rpmA = 12B = 30C = 16D = 24η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 0,5 kg на пружине с k = 320 N/m оттягивают на 9 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 1,45 s (со знаком).

m = 0,5 kgk = 320 N/mA = 9 cmt = 1,45 s

x = cm

18.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 5 g, летящая со скоростью 350 m/s, попадает в брусок массой 2,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 900 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 5 gv = 350 m/sM = 2,5 kgk = 900 N/m

A = cm

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 2 kg на пружине жёсткостью 2 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,6. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 2 kgk = 2 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 10 kg висит на пружине k₃ = 10 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 25 kN/m и k₂ = 80 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 10 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 27,56 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·3,5) = 27,56 m

Ответ

s = 27,56 m

2.Кинематика

Ответ: t = 2,282 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−5 = 9·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 9·t − 5 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (9 + √(9² + 2·9,81·5))/9,81 = 2,282 s

Ответ

t = 2,282 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,627 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0) = 5,627 m/s²

Ответ

a = 5,627 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,7859 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 49,05 N

m₁·g·sin θ = 23,49 N

μ·m₁·g·cos θ = 16,13 N

Ускорение системы

a = (49,05 − 23,49 − 16,13)/12 = 0,7859 m/s²

Ответ

a = 0,7859 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,742 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 35° = 26,21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 35° = 18,35 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·18,35/9,81 = 3,742 s

Ответ

t = 3,742 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 35,82 m

Разложите начальную скорость

v_x = 8,208 m/s, v_y = 22,55 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

5 = 22,55·t − 4,905·t²

t = (22,55 + √(22,55² − 2·9,81·5))/9,81 = 4,364 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 8,208·4,364 = 35,82 m

Ответ

x = 35,82 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 28,88 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Нулевая нормальная реакция

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·85) = 28,88 m/s

Ответ

v_max = 28,88 m/s

(104 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: h_min = 5 m

Условие в верхней точке

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон сохранения энергии

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·2 = 5 m

Ответ

h_min = 5 m

9.Работа и энергия

Ответ: P = 12,2 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1000·9,81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 3° = 513,4 N

F = 513,4 + 300 = 813,4 N

Мощность

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 813,4·15 = 12201 W = 12,2 kW

Ответ

P = 12,2 kW

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,775 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 39,24·(2 − 0,3·1) = 66,71 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,7) = 5,775 m/s

Ответ

v = 5,775 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 0,3636 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (0,5 − 5)/(0,5 + 5)·2 = −1,636 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 5)·2 = 0,3636 m/s

Ответ

v′₂ = 0,3636 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 49,06 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·24,5) = 16,98 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·16,98/900 = 49,06 m/s

Ответ

v₁ = 49,06 m/s

(176,6 km/h)

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: t = 64,88 s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1900/60 = 199 rad/s

Замедление и время

α = T_b/I = 115/37,5 = 3,067 rad/s²

t = ω/α = 199/3,067 = 64,88 s

Ответ

t = 64,88 s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: E_k = 52,08 J

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·2,5·5² = 31,25 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,6667·m·r²·(v/r)² = 0,6667·31,25 = 20,83 J

Итого

E_k = 31,25 + 20,83 = 52,08 J

Ответ

E_k = 52,08 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N₁ = 24

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Суммарное число зубьев

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·108/1,5 = 144

Делим по передаточному отношению

N₁ = 144/(1 + 5) = 24

Ответ

N₁ = 24

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 355,8 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Скорость на выходе

n_out = 1450·(12/30)·(16/24) = 386,7 rpm

ω_out = 2π·386,7/60 = 40,49 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 15000·0,98² = 14406 W

T_out = P_out/ω_out = 14406/40,49 = 355,8 N·m

Ответ

T_out = 355,8 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: x = 4,736 cm

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(320/0,5) = 25,3 rad/s

ω·t = 25,3·1,45 = 36,68 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 9·cos(36,68) = 4,736 cm

Ответ

x = 4,736 cm

18.Пружины и маятники

Ответ: A = 3,686 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,005·350/2,505 = 0,6986 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(900/2,505) = 18,95 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 0,6986/18,95 = 0,03686 m = 3,686 cm

Ответ

A = 3,686 cm

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 4,026 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(2000/2) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,6²) = 4,026 Hz

Ответ

f_d = 4,026 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 4,809 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 25 + 80 = 105 kN/m

k_eq = 105·10/(105 + 10) = 9,13 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(9130/10) = 30,22 rad/s

f_n = 30,22/(2π) = 4,809 Hz

Ответ

f_n = 4,809 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics