Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 108 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 108 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 3,3 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 3,3 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 10 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 10 kgθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 20° со скоростью 9,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 9,5 m/sθ = 20°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 28 m/s, и он должен упасть на расстоянии 40 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 28 m/sR = 40 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 30 m/s под углом 60° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 2 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 30 m/sθ = 60°h_roof = 2 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 30 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 30 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 120 m имеет вираж с уклоном 25°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 120 mθ = 25°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 3 m вдоль плоскости.

θ = 20°μ = 0,2d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 5000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 1 kgh = 4,5 mL = 2,5 mμ = 0,15k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1300 kg, движущийся со скоростью 18 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 2000 kg, и они сцепляются. Какой процент ΔK/K исходной кинетической энергии теряется?

m₁ = 1300 kgv₁ = 18 m/sm₂ = 2000 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,6 kg ударяется о стену со скоростью 10 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 18 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,6 kgv_in = 10 m/sv_out = 18 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 9 kg и длиной 0,6 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v свободного конца при прохождении стержнем вертикального положения.

m = 9 kgL = 0,6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный тонкий стержень массой 3 kg и длиной 1,6 m неподвижно висит на шарнире без трения в своём верхнем конце. Пуля массой 15 g, летящая горизонтально со скоростью 320 m/s, попадает в стержень на 1,09 m ниже шарнира и застревает в нём. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольший угол φ отклонения стержня от вертикали.

M = 3 kgL = 1,6 mm = 15 gv = 320 m/sd = 1,09 mg = 9,81 m/s²

φ = °

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 2,2 kW с частотой вращения 1450 rpm приводит шестерню с числом зубьев 48, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 80. КПД зубчатой пары — 98 %. Найдите выходной крутящий момент T₂ на валу колеса.

P = 2,2 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 48N₂ = 80η = 98%

T₂ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 5,5 kW с частотой 1440 rpm приводит колесо A (60 зубьев), которое зацепляется с колесом B (80 зубьев). Колесо C (15 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (24 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 95%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 5,5 kWn_in = 1440 rpmA = 60B = 80C = 15D = 24η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 0,9 kg на пружине с k = 340 N/m оттягивают на 13 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 0,15 s (со знаком).

m = 0,9 kgk = 340 N/mA = 13 cmt = 0,15 s

x = cm

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,3 kg на пружине с k = 400 N/m оттягивают на 14 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 1,3 kgk = 400 N/mA = 14 cm

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 250 kg на пружине жёсткостью 100 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,6. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 250 kgk = 100 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 20 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 5 kN/m и k₂ = 20 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 128,6 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·3,5) = 128,6 m

Ответ

s = 128,6 m

2.Кинематика

Ответ: d = 48,9 m

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(3,3 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1132 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1132))/(2·4,905) = 3,157 s

Глубина

d = ½·9,81·3,157² = 48,9 m

Ответ

d = 48,9 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,479 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 25° − 0,3·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,2719) = 1,479 m/s²

Ответ

a = 1,479 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 7,372 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 20° + 0,3·cos 20°) = 6,121 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 9,5²/(2·6,121) = 7,372 m

Ответ

d = 7,372 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 15,02 °

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·40/28² = 0,5005

Угол

2θ = 30,03° → θ = 15,02°

Ответ

θ = 15,02°

Второе решение: 90° − θ = 74,98°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 78,28 m

Разложите начальную скорость

v_x = 15 m/s, v_y = 25,98 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

2 = 25,98·t − 4,905·t²

t = (25,98 + √(25,98² − 2·9,81·2))/9,81 = 5,219 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 15·5,219 = 78,28 m

Ответ

x = 78,28 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 12,13 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·30) = 12,13 m/s

Ответ

v_max = 12,13 m/s (43,67 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 26,44 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(120·9,81·0,5132/0,864) = 26,44 m/s

Ответ

v_max = 26,44 m/s

(95,2 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: v = 3,012 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·3·(0,342 − 0,2·0,9397)) = 3,012 m/s

Ответ

v = 3,012 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 12,72 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(4,5 − 0,15·2,5) = 40,47 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 40,47 → x = √(2·40,47/5000) = 0,1272 m = 12,72 cm

Ответ

x = 12,72 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK/K = 60,61 %

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1300·18/3300 = 7,091 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1300·18² = 210600 J

K_after = ½·3300·7,091² = 82964 J

Потерянная доля

ΔK/K = 127636/210600 = 60,61 %

Ответ

ΔK/K = 60,61 %

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 672 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,6·(18 + 10) = 16,8 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 16,8/0,025 = 672 N

Ответ

F_avg = 672 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 4,202 m/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 = 9·9,81·0,3 = 26,49 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 = 9·0,6²/3 = 1,08 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 26,49 → ω = √(2·26,49/1,08) = 7,004 rad/s

v = ω·L = 7,004·0,6 = 4,202 m/s

Ответ

v = 4,202 m/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: φ = 39,1 °

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Момент инерции после удара

I = M·L²/3 + m·d² = 3·1,6²/3 + 0,015·1,09² = 2,578 kg·m²

Момент импульса относительно шарнира

Сила в шарнире проходит через шарнир, поэтому во время удара её момент относительно него равен нулю.

m·v·d = I·ω → ω = 0,015·320·1,09/2,578 = 2,03 rad/s

Энергия при качании

½·I·ω² = ½·2,578·2,03² = 5,309 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 23,7·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 5,309/23,7 = 0,776 → φ = 39,1°

Ответ

φ = 39,1°

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₂ = 23,66 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/151,8 = 14,49 N·m

Выходной крутящий момент

T₂ = 14,49·80/48·0,98 = 23,66 N·m

Ответ

T₂ = 23,66 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 70,22 N·m

Скорость на выходе

n_out = 1440·(60/80)·(15/24) = 675 rpm

ω_out = 2π·675/60 = 70,69 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 5500·0,95² = 4964 W

T_out = P_out/ω_out = 4964/70,69 = 70,22 N·m

Ответ

T_out = 70,22 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: x = −12,67 cm

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(340/0,9) = 19,44 rad/s

ω·t = 19,44·0,15 = 2,915 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 13·cos(2,915) = −12,67 cm

Ответ

x = −12,67 cm

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 2,456 m/s

Угловая частота

ω = √(400/1,3) = 17,54 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,14·17,54 = 2,456 m/s

Ответ

v_max = 2,456 m/s

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 2,546 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(100000/250) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3,183 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,183·√(1 − 0,6²) = 2,546 Hz

Ответ

f_d = 2,546 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 5,627 Hz

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 20 = 25 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(25000/20) = 35,36 rad/s

f_n = 35,36/(2π) = 5,627 Hz

Ответ

f_n = 5,627 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics