Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 54 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 54 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 30 m/s², направленное вверх, в течение 2,5 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Через сколько времени после старта она упадёт на землю? Найдите t.

a = 30 m/s²t₁ = 2,5 sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 35 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 20° к горизонту с силой 110 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 35 kgF = 110 Nθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 45 N тянет передний брусок массой 2 kg; брусок массой 5 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgF = 45 Nμ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 34 m/s, и он должен упасть на расстоянии 105 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 34 m/sR = 105 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 25° к горизонту с вершины скалы высотой 50 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 23 m/sθ = 25°h = 50 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Поворот радиусом 310 m имеет вираж с уклоном 8°. С какой скоростью v автомобиль может пройти его вообще без участия трения? Примите g = 9,81 m/s².

r = 310 mθ = 8°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 2 kg на нити длиной 0,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 2 kgr = 0,5 mv = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2,5 kg скользит 7 m по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,15. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2,5 kgθ = 25°μ = 0,15d = 7 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 9 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 2 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.

m = 1 kgh = 9 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 1,5 kg, движущаяся со скоростью 7 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,4 kg ударяется о стену со скоростью 22 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 15 m/s. Контакт длится 20 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,4 kgv_in = 22 m/sv_out = 15 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 11 kg и длиной 2,3 m закреплён шарниром на одном конце и удерживается горизонтально. Его отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите вертикальную силу R, с которой шарнир действует на стержень сразу после освобождения.

m = 11 kgL = 2,3 mg = 9,81 m/s²

R = N

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной шар катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 20° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Оно начинает движение из состояния покоя. За какое время t оно прокатится 5 m вниз по склону?

θ = 20°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²s = 5 m

t = s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 15 kW с частотой вращения 1440 rpm приводит шестерню с числом зубьев 18, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 25. КПД зубчатой пары — 97 %. Найдите крутящий момент T₁ на валу двигателя.

P = 15 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 18N₂ = 25η = 97%

T₁ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (40 зуб.) на входном валу вращается с частотой 3000 rpm и приводит колесо B (80 зуб.). Колесо C (15 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (50 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 3000 rpmA = 40B = 80C = 15D = 50

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 0,2 kg на пружине с k = 300 N/m оттягивают на 9 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 0,75 s (со знаком).

m = 0,2 kgk = 300 N/mA = 9 cmt = 0,75 s

x = cm

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,6 kg на пружине с k = 200 N/m оттягивают на 18 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 1,6 kgk = 200 N/mA = 18 cm

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 10 mm через один цикл следует пик 5,3 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 10 mmx₁ = 5,3 mmn = 1

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 5 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 80 kN/m, у нижней k₂ = 10 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 4,286 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/3,5 = 4,286 s

Ответ

t = 4,286 s

2.Кинематика

Ответ: t = 18,95 s

Активный участок

v₁ = 30·2,5 = 75 m/s

h₁ = ½·30·2,5² = 93,75 m

Свободный полёт до земли

Решите −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² и возьмите положительный корень.

t₂ = (75 + √(75² + 2·9,81·93,75))/9,81 = 16,45 s

t = 2,5 + 16,45 = 18,95 s

Ответ

t = 18,95 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,7695 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 343,4 − 110·sin 20° = 305,7 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 103,4 − 76,43

a = 26,93/35 = 0,7695 m/s²

Ответ

a = 0,7695 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 32,14 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (45 − 10,3)/7 = 4,957 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(4,957 + 1,472) = 32,14 N

Ответ

T = 32,14 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 31,5 °

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·105/34² = 0,891

Угол

2θ = 63,01° → θ = 31,5°

Ответ

θ = 31,5°

Второе решение: 90° − θ = 58,5°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,334 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 25° = 20,85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 25° = 9,72 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 50 + 9,72·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,72 + √(94,48 + 981))/9,81 = 4,334 s

Ответ

t = 4,334 s

7.Движение по окружности

Ответ: v = 20,67 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Баланс сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Скорость

v = √(r·g·tan θ) = √(310·9,81·tan 8°) = 20,67 m/s

Ответ

v = 20,67 m/s

(74,43 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 275,6 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9,81 + 2·8²/0,5 = 19,62 + 256 = 275,6 N

Ответ

T = 275,6 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 23,34 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 24,53·0,9063 = 22,23 N

F = μN = 0,15·22,23 = 3,334 N

Работа против трения

W_f = F·d = 3,334·7 = 23,34 J

Ответ

W_f = 23,34 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 9,905 m/s

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(9 − 4) = 98,1 m²/s²

v = 9,905 m/s

Ответ

v = 9,905 m/s

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 4,2 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (1,5 − 3,5)/(1,5 + 3,5)·7 = −2,8 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 3,5)·7 = 4,2 m/s

Ответ

v′₂ = 4,2 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 14,8 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,4·(15 + 22) = 14,8 N·s

Ответ

J = 14,8 N·s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: R = 26,98 N

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Моменты относительно шарнира

В момент освобождения ω = 0, поэтому центростремительного ускорения нет, и центр ускоряется строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·2,3) = 6,398 rad/s²

Вертикальные силы

a_G = α·L/2 = 7,357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 11·(9,81 − 7,357) = 26,98 N

Ответ

R = 26,98 N

R = m·g/4, не зависит от длины.

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: t = 2,043 s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Уравнения движения

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

Ускорение

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 20°/1,4 = 2,397 m/s²

Время

s = ½·a·t² → t = √(2·5/2,397) = 2,043 s

Ответ

t = 2,043 s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₁ = 99,47 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/150,8 = 99,47 N·m

Ответ

T₁ = 99,47 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 450 rpm

Первая ступень

n_B = 3000·40/80 = 1500 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 1500·15/50 = 450 rpm

Ответ

n_out = 450 rpm

общее передаточное отношение = 6,667 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: x = −6,442 cm

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(300/0,2) = 38,73 rad/s

ω·t = 38,73·0,75 = 29,05 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 9·cos(29,05) = −6,442 cm

Ответ

x = −6,442 cm

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 2,012 m/s

Угловая частота

ω = √(200/1,6) = 11,18 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,18·11,18 = 2,012 m/s

Ответ

v_max = 2,012 m/s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,1005

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/1)·ln(10/5,3) = 0,6349

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6349/√(39,48 + 0,4031) = 0,1005

Ответ

ζ = 0,1005

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 8,889 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/10 → k_eq = 80·10/(80 + 10) = 8,889 kN/m

Ответ

k_eq = 8,889 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics