Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 72 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,5 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 72 km/ht_r = 0,5 sa = −7,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 4,4 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 4,4 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 40 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 40 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 10 kg на наклонной плоскости под углом 40° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 9,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 10 kgm₂ = 9,5 kgθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 65° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 36 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 24 m/s под углом 35° к горизонту с вершины обрыва высотой 10 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 24 m/sθ = 35°h = 10 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 1,8 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую угловую скорость ω в rad/s.

r = 1,8 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,9 kg на лёгкой нити длиной 0,9 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,9 kgr = 0,9 mv_bottom = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 1500 N/m. На неё кладут мяч массой 0,25 kg, сжимают пружину на 4 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,25 kgk = 1500 N/mx = 4 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1,5 m (μ = 0,25), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2,5 kgh = 5 mL = 1,5 mμ = 0,25k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 500 kg, движущийся со скоростью 12 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1000 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 500 kgv₁ = 12 m/sm₂ = 1000 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1700 kg, едущий на восток со скоростью 23 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1100 kg, едущим на север со скоростью 9 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 1700 kgv₁ = 23 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 9 m/s (N)

θ = °

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Груз массой 8 kg висит на лёгкой нити, намотанной на блок — однородный сплошной диск массой 3,5 kg и радиусом 0,3 m, вращающийся на гладкой горизонтальной оси. Груз отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m = 8 kgM = 3,5 kgR = 0,3 mg = 9,81 m/s²

T = N

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный тонкий стержень массой 10 kg и длиной 2 m неподвижно висит на шарнире без трения в своём верхнем конце. Пуля массой 20 g, летящая горизонтально со скоростью 280 m/s, попадает в стержень на 1,95 m ниже шарнира и застревает в нём. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольший угол φ отклонения стержня от вертикали.

M = 10 kgL = 2 mm = 20 gv = 280 m/sd = 1,95 mg = 9,81 m/s²

φ = °

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Два параллельных вала расположены на расстоянии 312,5 mm. Их нужно соединить парой прямозубых колёс с модулем 5 mm и передаточным отношением 4 : 1 (понижающая передача). Сколько зубьев N₂ должно иметь колесо?

a = 312,5 mmm = 5 mmi = 4

N₂ =

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (36 зуб.) на входном валу вращается с частотой 960 rpm и приводит колесо B (48 зуб.). Колесо C (12 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (60 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 960 rpmA = 36B = 48C = 12D = 60

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,4 kg на пружине с k = 190 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 8 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 7 cm от положения равновесия.

m = 1,4 kgk = 190 N/mA = 8 cmx = 7 cm

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,5 kg на пружине с k = 410 N/m оттягивают на 4 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 1,5 kgk = 410 N/mA = 4 cm

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 12 mm через 2 циклов следует пик 5,6 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 12 mmx₂ = 5,6 mmn = 2

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 50 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 50 kN/m, у нижней k₂ = 60 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 36,67 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 20·0,5 = 10 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·7,5) = 26,67 m

Итого

d = 10 + 26,67 = 36,67 m

Ответ

d = 36,67 m

2.Кинематика

Ответ: d = 84,61 m

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(4,4 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1509 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1509))/(2·4,905) = 4,153 s

Глубина

d = ½·9,81·4,153² = 84,61 m

Ответ

d = 84,61 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 230,2 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 196,2 + 33,98 = 230,2 N

Ответ

F = 230,2 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,7748 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 93,2 N

m₁·g·sin θ = 63,06 N

μ·m₁·g·cos θ = 15,03 N

Ускорение системы

a = (93,2 − 63,06 − 15,03)/19,5 = 0,7748 m/s²

Ответ

a = 0,7748 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 101,2 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 65° = 15,21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 65° = 32,63 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·32,63/9,81 = 6,652 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 15,21·6,652 = 101,2 m

Ответ

x = 101,2 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 44,97 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 24·cos 35° = 19,66 m/s

v_y0 = 24·sin 35° = 13,77 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(13,77² + 2·9,81·10) = 19,64 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 19,64/19,66 → α = 44,97°

Ответ

α = 44,97°

7.Движение по окружности

Ответ: ω = 3,691 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,4·1,8)) = 3,691 rad/s

Ответ

ω = 3,691 rad/s

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 19,86 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 8² − 4·9,81·0,9 = 28,68 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,9·28,68/0,9 − 0,9·9,81 = 19,86 N

Ответ

T_top = 19,86 N

9.Работа и энергия

Ответ: h = 0,4893 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 4 cm = 0,04 m

½kx² = ½·1500·0,04² = 1,2 J

Высота

m·g = 0,25·9,81 = 2,453 N

h = ½kx²/(mg) = 1,2/2,453 = 0,4893 m

Ответ

h = 0,4893 m

10.Работа и энергия

Ответ: x = 23,81 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(5 − 0,25·1,5) = 113,4 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 113,4 → x = √(2·113,4/4000) = 0,2381 m = 23,81 cm

Ответ

x = 23,81 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 24000 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 500·12/1500 = 4 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·500·12² = 36000 J

K_after = ½·1500·4² = 12000 J

Потерянная энергия

ΔK = 36000 − 12000 = 24000 J

Ответ

ΔK = 24000 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 14,21 °

Составляющие импульса

p_x = 1700·23 = 39100 kg·m/s

p_y = 1100·9 = 9900 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 0,2532 → θ = 14,21°

Ответ

θ = 14,21°

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: T = 14,09 N

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Груз и блок

брусок: m·g − T = m·a

блок: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Ускорение

a = m·g/(m + M/2) = 8·9,81/(8 + 1,75) = 8,049 m/s²

Натяжение

T = m·(g − a) = 8·(9,81 − 8,049) = 14,09 N

Ответ

T = 14,09 N

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: φ = 17,28 °

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Момент инерции после удара

I = M·L²/3 + m·d² = 10·2²/3 + 0,02·1,95² = 13,41 kg·m²

Момент импульса относительно шарнира

Сила в шарнире проходит через шарнир, поэтому во время удара её момент относительно него равен нулю.

m·v·d = I·ω → ω = 0,02·280·1,95/13,41 = 0,8144 rad/s

Энергия при качании

½·I·ω² = ½·13,41·0,8144² = 4,446 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 98,48·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 4,446/98,48 = 0,9549 → φ = 17,28°

Ответ

φ = 17,28°

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N₂ = 100

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Суммарное число зубьев

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·312,5/5 = 125

Делим по передаточному отношению

N₁ = 125/(1 + 4) = 25

N₂ = 4·25 = 100

Ответ

N₂ = 100

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 144 rpm

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Первая ступень

n_B = 960·36/48 = 720 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 720·12/60 = 144 rpm

Ответ

n_out = 144 rpm

общее передаточное отношение = 6,667 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,4512 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(190/1,4) = 11,65 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 11,65·√(0,08² − 0,07²) = 0,4512 m/s

Ответ

v = 0,4512 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,6613 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(410/1,5) = 16,53 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,04·16,53 = 0,6613 m/s

Ответ

v_max = 0,6613 m/s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,06054

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/2)·ln(12/5,6) = 0,3811

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3811/√(39,48 + 0,1452) = 0,06054

Ответ

ζ = 0,06054

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 27,27 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/60 → k_eq = 50·60/(50 + 60) = 27,27 kN/m

Ответ

k_eq = 27,27 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics