Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.
Автомобиль, едущий со скоростью 50 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.
Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 4,9 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.
Ящик массой 40 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 15° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.
Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 95 N тянет передний брусок массой 6 kg; брусок массой 11 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.
Мяч бросают под углом 55° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.
Мяч бросают под углом 55° к горизонту с вершины скалы высотой 15 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.
Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 115 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость vmax, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.
Шарик массой 0,7 kg на лёгкой нити длиной 0,6 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 12 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения Ttop нити в верхней точке.
Брусок массой 2 kg скользит 13 m по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,2. Найдите работу Wf против силы трения.
Тележку массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 15 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 5 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.
Тележка массой 0,5 kg, движущаяся со скоростью 8 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′1 первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).
Автомобиль массой 1500 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1200 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 24,5 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,75. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v1 первого автомобиля непосредственно перед столкновением.
Маховик с моментом инерции 26 kg·m² вращается с частотой 1500 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 150 N·m. Сколько оборотов N сделает маховик до остановки?
сплошной цилиндр начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 40° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его скорость v после того, как он прокатился 7 m вдоль склона.
Двигатель мощностью 0,75 kW с частотой вращения 960 rpm приводит шестерню с числом зубьев 12, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 80. КПД зубчатой пары — 97 %. Найдите крутящий момент T1 на валу двигателя.
В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (18 зуб.) на входном валу вращается с частотой 2900 rpm и приводит колесо B (24 зуб.). Колесо C (15 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (60 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения nout.
Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,2 m имеет период малых колебаний 5,41 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.
Тело совершает гармонические колебания с периодом 1,1 s и амплитудой 9 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 9 cm в точку со смещением 8,1 cm?
Груз массой 8 kg опирается на пружину жёсткостью 1 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 40 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.
Груз массой 40 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 60 kN/m и k₂ = 30 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость keq системы пружин в kN/m.
Ответ: t = 2,315 s
Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.
Ответ: d = 103,7 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Физический смысл имеет только положительный корень.
Ответ: F = 215,3 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Постоянная скорость: силы уравновешены.
Ответ: T = 61,47 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Ответ: H = 8,755 m
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: vy² = 2gH.
Ответ: x = 127 m
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
Решите y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.
Ответ: vmax = 30,04 m/s
Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.
Ответ: Ttop = 133,7 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.
Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.
Ответ: Wf = 36,07 J
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).
Ответ: v = 9,905 m/s
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.
Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.
Ответ: v′1 = −6,4 m/s
Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.
Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.
Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.
Ответ: v1 = 34,18 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Ответ: N = 340,3 rev
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Ответ: v = 7,672 m/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.
Ответ: T1 = 7,46 N·m
Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.
Ответ: nout = 543,8 rpm
Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.
общее передаточное отношение = 5,333 : 1
Ответ: g = 1,619 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Ответ: t = 0,07896 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Ответ: ζ = 0,2236
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.
Ответ: keq = 90 kN/m
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics