Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 26 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 5,5 m/s². На каком расстоянии от места старта полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите d.

v_car = 26 m/sa_police = 5,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 25 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 24 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y над землёй они встретятся?

H = 25 mv_0B = 24 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 4 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 4 kgθ = 25°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 65° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 10 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 29 m/s под углом 45° к горизонту с вершины обрыва высотой 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 29 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 1400 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 16 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 55 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 1400 kgv = 16 m/sr = 55 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,1 kg на лёгкой нити длиной 0,9 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 10 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,1 kgr = 0,9 mv_bottom = 10 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 0,5 kg висит на лёгкой нити длиной 0,5 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 60° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 0,5 kgL = 0,5 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 30° и тянется вверх по ней постоянной силой 15 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 6 m вверх по плоскости.

m = 2 kgF = 15 Nθ = 30°μ = 0,1d = 6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3,5 kg, движущаяся со скоростью 7 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 2 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,1 kg ударяется о стену со скоростью 29 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 12 m/s. Контакт длится 5 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,1 kgv_in = 29 m/sv_out = 12 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Груз массой 12,5 kg висит на лёгкой нити, намотанной на блок — однородный сплошной диск массой 12,5 kg и радиусом 0,2 m, вращающийся на гладкой горизонтальной оси. Груз отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a груза.

m = 12,5 kgM = 12,5 kgR = 0,2 mg = 9,81 m/s²

a = m/s²

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной шар массой 3 kg катится без проскальзывания со скоростью 9 m/s. Какой процент p полной кинетической энергии составляет энергия вращения?

m = 3 kgv = 9 m/sI = (2/5)·m·r²

p = %

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Червяк с числом заходов 3 вращается с частотой 1440 rpm и приводит червячное колесо с 80 зубьями. Найдите частоту вращения n_w колеса.

z = 3N_w = 80n = 1440 rpm

n_w = rpm

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (24 зуб.) на входном валу вращается с частотой 3000 rpm и приводит колесо B (36 зуб.). Колесо C (16 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (60 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 3000 rpmA = 24B = 36C = 16D = 60

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 0,8 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 0,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 12 g, летящая со скоростью 500 m/s, попадает в брусок массой 0,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1000 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 12 gv = 500 m/sM = 0,5 kgk = 1000 N/m

A = cm

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 15 kg на пружине жёсткостью 10 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,45. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 15 kgk = 10 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 20 kg висит на пружине k₃ = 12 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 20 kN/m и k₂ = 20 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 20 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 245,8 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·26/5,5 = 9,455 s

Путь

d = v·t = 26·9,455 = 245,8 m

Ответ

d = 245,8 m

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 52 m/s.

2.Кинематика

Ответ: y = 19,68 m

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

25 − ½g·t² = 24·t − ½g·t² → t = 25/24 = 1,042 s

Высота встречи

y = 24·1,042 − ½·9,81·1,042² = 19,68 m

Ответ

y = 19,68 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,146 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0) = 4,146 m/s²

Ответ

a = 4,146 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,188 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 8,829)/8 = 3,188 m/s²

Ответ

a = 3,188 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 1,848 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 65° = 4,226 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 65° = 9,063 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·9,063/9,81 = 1,848 s

Ответ

t = 1,848 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 41,43 m

Вертикальная начальная скорость

v_y = 29·sin 45° = 20,51 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 20,51²/(2·9,81) = 21,43 m

Высота над землёй

H = 20 + 21,43 = 41,43 m

Ответ

H = 41,43 m

7.Движение по окружности

Ответ: N = 7218 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 1400·9,81 − 1400·16²/55 = 13734 − 6516 = 7218 N

Ответ

N = 7218 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 68,27 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 10² − 4·9,81·0,9 = 64,68 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,1·64,68/0,9 − 1,1·9,81 = 68,27 N

Ответ

T_top = 68,27 N

9.Работа и энергия

Ответ: T = 9,81 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,5·(1 − cos 60°) = 4,905 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

T = mg + mv²/L = 4,905 + 0,5·4,905/0,5 = 9,81 N

Ответ

T = 9,81 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 9,81 N.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 4,577 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

mg·sin θ = 9,81 N

μ·mg·cos θ = 1,699 N

Работа и энергия

½mv² = (15 − 11,51)·6 = 20,95 J

v = √(2·20,95/2) = 4,577 m/s

Ответ

v = 4,577 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 1,909 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3,5 − 2)/(3,5 + 2)·7 = 1,909 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 2)·7 = 8,909 m/s

Ответ

v′₁ = 1,909 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 820 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,1·(12 + 29) = 4,1 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 4,1/0,005 = 820 N

Ответ

F_avg = 820 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: a = 6,54 m/s²

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Груз и блок

брусок: m·g − T = m·a

блок: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Ускорение

a = m·g/(m + M/2) = 12,5·9,81/(12,5 + 6,25) = 6,54 m/s²

Ответ

a = 6,54 m/s²

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: p = 28,57 %

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·3·9² = 121,5 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·121,5 = 48,6 J

Доля вращения

p = 48,6/170,1·100% = c/(1 + c)·100% = 28,57%

Ответ

p = 28,57 %

Доля зависит только от формы, а не от массы или скорости.

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_w = 54 rpm

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения колеса

n_w = n·z/N_w = 1440·3/80 = 54 rpm

Ответ

n_w = 54 rpm

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 533,3 rpm

Первая ступень

n_B = 3000·24/36 = 2000 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 2000·16/60 = 533,3 rpm

Ответ

n_out = 533,3 rpm

общее передаточное отношение = 5,625 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,159 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,8/2π)² = 0,159 m

Ответ

L = 0,159 m

18.Пружины и маятники

Ответ: A = 26,52 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,012·500/0,512 = 11,72 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1000/0,512) = 44,19 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 11,72/44,19 = 0,2652 m = 26,52 cm

Ответ

A = 26,52 cm

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 3,67 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(10000/15) = 25,82 rad/s

f_n = 25,82/(2π) = 4,109 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,109·√(1 − 0,45²) = 3,67 Hz

Ответ

f_d = 3,67 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 3,419 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 20 + 20 = 40 kN/m

k_eq = 40·12/(40 + 12) = 9,231 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(9231/20) = 21,48 rad/s

f_n = 21,48/(2π) = 3,419 Hz

Ответ

f_n = 3,419 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics