Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 120 km/h, тормозит с постоянным замедлением 5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 120 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 16 m/s с края крыши на высоте 5 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 16 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 17 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 17 kgθ = 45°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 7,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 2 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 45° к горизонту, и он падает на расстоянии 125 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 45°R = 125 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с вершины скалы высотой 25 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 30 m/sθ = 40°h = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 800 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 20 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 95 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 800 kgv = 20 m/sr = 95 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 180 m имеет вираж с уклоном 18°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 180 mθ = 18°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1500 kg въезжает на подъём 6° с постоянной скоростью 54 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 750 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1500 kgθ = 6°F_r = 750 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3,5 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 1500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 2 kgh = 2 mL = 3,5 mμ = 0,3k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 4,5 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 2,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 4,5 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,25 kg ударяется о стену со скоростью 13 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 18 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,25 kgv_in = 13 m/sv_out = 18 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 2 kg и длиной 1,9 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v свободного конца при прохождении стержнем вертикального положения.

m = 2 kgL = 1,9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч массой 3 kg катится без проскальзывания со скоростью 4 m/s. Какой процент p полной кинетической энергии составляет энергия вращения?

m = 3 kgv = 4 m/sI = m·r²

p = %

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 4 kW с частотой вращения 960 rpm приводит шестерню с числом зубьев 18, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 50. Потерями пренебречь. Найдите выходной крутящий момент T₂ на валу колеса.

P = 4 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 18N₂ = 50η = 100%

T₂ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 24 зубьев, а каждый сателлит — 18 зубьев. Коронное колесо закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 3000 rpm. Найдите частоту вращения n_c водила.

N_s = 24N_p = 18n_s = 3000 rpm

n_c = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,3 m имеет период малых колебаний 1,44 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1,3 mT = 1,44 s

g = m/s²

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,6 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 500 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max груза.

m = 2,6 kgk = 500 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 15 kg на пружине жёсткостью 200 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,6. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 15 kgk = 200 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 40 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 50 kN/m, у нижней k₂ = 12 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 40 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 111,1 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·5) = 111,1 m

Ответ

s = 111,1 m

2.Кинематика

Ответ: t = 3,549 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−5 = 16·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 16·t − 5 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (16 + √(16² + 2·9,81·5))/9,81 = 3,549 s

Ответ

t = 3,549 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 6,937 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0) = 6,937 m/s²

Ответ

a = 6,937 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 17,04 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 7,357)/9,5 = 1,291 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7,5·1,291 + 7,357 = 17,04 N

Ответ

T = 17,04 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 35,02 m/s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·125/sin 90°) = 35,02 m/s

Ответ

v₀ = 35,02 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,959 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 40° = 22,98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 40° = 19,28 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 25 + 19,28·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19,28 + √(371,9 + 490,5))/9,81 = 4,959 s

Ответ

t = 4,959 s

7.Движение по окружности

Ответ: N = 4480 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 800·9,81 − 800·20²/95 = 7848 − 3368 = 4480 N

Ответ

N = 4480 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 38,36 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(180·9,81·0,6894/0,8274) = 38,36 m/s

Ответ

v_max = 38,36 m/s

(138,1 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: P = 34,32 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1500·9,81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 6° = 1538 N

F = 1538 + 750 = 2288 N

Мощность

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 2288·15 = 34322 W = 34,32 kW

Ответ

P = 34,32 kW

10.Работа и энергия

Ответ: v = 4,317 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 19,62·(2 − 0,3·3,5) = 18,64 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·0,95) = 4,317 m/s

Ответ

v = 4,317 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 0,5714 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (4,5 − 2,5)/(4,5 + 2,5)·2 = 0,5714 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 2,5)·2 = 2,571 m/s

Ответ

v′₁ = 0,5714 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 7,75 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,25·(18 + 13) = 7,75 N·s

Ответ

J = 7,75 N·s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 7,478 m/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 = 2·9,81·0,95 = 18,64 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 = 2·1,9²/3 = 2,407 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 18,64 → ω = √(2·18,64/2,407) = 3,936 rad/s

v = ω·L = 3,936·1,9 = 7,478 m/s

Ответ

v = 7,478 m/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: p = 50 %

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·3·4² = 24 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·24 = 24 J

Доля вращения

p = 24/48·100% = c/(1 + c)·100% = 50%

Ответ

p = 50 %

Доля зависит только от формы, а не от массы или скорости.

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₂ = 110,5 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/100,5 = 39,79 N·m

Выходной крутящий момент

T₂ = 39,79·50/18·1 = 110,5 N·m

Ответ

T₂ = 110,5 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_c = 857,1 rpm

Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.

Число зубьев коронного колеса

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·18 = 60

Формула Виллиса при неподвижном коронном колесе

Положите n_r = 0 и найдите частоту вращения водила.

(3000 − n_c)/(0 − n_c) = −60/24

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 3000·24/84 = 857,1 rpm

Ответ

n_c = 857,1 rpm

Водило вращается в том же направлении, что и солнечная шестерня.

17.Пружины и маятники

Ответ: g = 24,75 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,3/1,44² = 24,75 m/s²

Ответ

g = 24,75 m/s²

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,7074 m/s

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 2,6·9,81/500 = 0,05101 m = A

Наибольшая скорость

Скорость наибольшая в положении равновесия.

ω = √(500/2,6) = 13,87 rad/s

v_max = A·ω = 0,05101·13,87 = 0,7074 m/s

Ответ

v_max = 0,7074 m/s

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 14,7 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(200000/15) = 115,5 rad/s

f_n = 115,5/(2π) = 18,38 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 18,38·√(1 − 0,6²) = 14,7 Hz

Ответ

f_d = 14,7 Hz

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 9,677 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/12 → k_eq = 50·12/(50 + 12) = 9,677 kN/m

Ответ

k_eq = 9,677 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics