Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 60 km/h, тормозит с постоянным замедлением 5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 60 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 24 m/s², направленное вверх, в течение 3 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Через сколько времени после старта она упадёт на землю? Найдите t.

a = 24 m/s²t₁ = 3 sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 3 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 3 kgθ = 30°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 8,5 kg на наклонной плоскости под углом 30° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 10 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 8,5 kgm₂ = 10 kgθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 35° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 16 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 15° к горизонту с вершины скалы высотой 20 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 27 m/sθ = 15°h = 20 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,2 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 50° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 1,2 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,7 kg на нити длиной 0,8 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,7 kgr = 0,8 mv = 5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 1500 N/m. На неё кладут мяч массой 0,1 kg, сжимают пружину на 8 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,1 kgk = 1500 N/mx = 8 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 1000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 5 kgh = 5 mL = 1,5 mμ = 0,1k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 12 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 24 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 12 gM = 5 kgh = 24 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,15 kg ударяется о стену со скоростью 24 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 16 m/s. Контакт длится 40 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,15 kgv_in = 24 m/sv_out = 16 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 4 kg и длиной 1,9 m закреплён шарниром на одном конце и удерживается горизонтально. Его отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a_tip свободного конца сразу после освобождения.

m = 4 kgL = 1,9 mg = 9,81 m/s²

a_tip = m/s²

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной цилиндр катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 10° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьший коэффициент трения покоя μ_s, при котором нет проскальзывания.

θ = 10°I = ½·m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Червяк с числом заходов 4 вращается с частотой 2900 rpm и приводит червячное колесо с 40 зубьями. Найдите частоту вращения n_w колеса.

z = 4N_w = 40n = 2900 rpm

n_w = rpm

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 18 зубьев, а каждый сателлит — 20 зубьев. Коронное колесо закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 3000 rpm. Найдите частоту вращения n_c водила.

N_s = 18N_p = 20n_s = 3000 rpm

n_c = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,8 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,5 kg на пружине с k = 180 N/m оттягивают на 12 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 0,5 kgk = 180 N/mA = 12 cm

E = J

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 25 kg на пружине жёсткостью 5 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,4. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 25 kgk = 5 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 50 kg висит на пружине k₃ = 5 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 20 kN/m и k₂ = 10 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 50 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 27,78 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·5) = 27,78 m

Ответ

s = 27,78 m

2.Кинематика

Ответ: t = 19,05 s

Активный участок

v₁ = 24·3 = 72 m/s

h₁ = ½·24·3² = 108 m

Свободный полёт до земли

Решите −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² и возьмите положительный корень.

t₂ = (72 + √(72² + 2·9,81·108))/9,81 = 16,05 s

t = 3 + 16,05 = 19,05 s

Ответ

t = 19,05 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,905 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0) = 4,905 m/s²

Ответ

a = 4,905 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,268 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 98,1 N

m₁·g·sin θ = 41,69 N

μ·m₁·g·cos θ = 14,44 N

Ускорение системы

a = (98,1 − 41,69 − 14,44)/18,5 = 2,268 m/s²

Ответ

a = 2,268 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 1,871 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 35° = 13,11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 35° = 9,177 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·9,177/9,81 = 1,871 s

Ответ

t = 1,871 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 74,42 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 15° = 26,08 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 15° = 6,988 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 20 + 6,988·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6,988 + √(48,83 + 392,4))/9,81 = 2,854 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 26,08·2,854 = 74,42 m

Ответ

x = 74,42 m

7.Движение по окружности

Ответ: v = 3,278 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,2·sin 50° = 0,9193 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,9193·9,81·tan 50°) = 3,278 m/s

Ответ

v = 3,278 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 28,74 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,7·9,81 + 0,7·5²/0,8 = 6,867 + 21,88 = 28,74 N

Ответ

T = 28,74 N

9.Работа и энергия

Ответ: h = 4,893 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·1500·0,08² = 4,8 J

Высота

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 4,8/0,981 = 4,893 m

Ответ

h = 4,893 m

10.Работа и энергия

Ответ: v = 9,755 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(5 − 0,1·1,5) = 237,9 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·4,85) = 9,755 m/s

Ответ

v = 9,755 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 906,3 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,24) = 2,17 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 5)·2,17/0,012 = 906,3 m/s

Ответ

v = 906,3 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 6 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,15·(16 + 24) = 6 N·s

Ответ

J = 6 N·s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: a_tip = 14,71 m/s²

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Моменты относительно шарнира

В момент освобождения ω = 0, поэтому центростремительного ускорения нет, и центр ускоряется строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1,9) = 7,745 rad/s²

Ускорение свободного конца

a_tip = α·L = 7,745·1,9 = 14,71 m/s²

Ответ

a_tip = 14,71 m/s²

a_tip = 1,5·g при любой длине: свободный конец падает быстрее брошенного камня.

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: μ_s = 0,05878

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Уравнения движения

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,5·m·r²·(a/r) → f = 0,5·m·a

Ускорение

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 10°/1,5 = 1,136 m/s²

Необходимое трение

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0,5·tan 10°/1,5 = 0,05878

Ответ

μ_s = 0,05878

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_w = 290 rpm

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения колеса

n_w = n·z/N_w = 2900·4/40 = 290 rpm

Ответ

n_w = 290 rpm

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_c = 710,5 rpm

Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.

Число зубьев коронного колеса

N_r = N_s + 2·N_p = 18 + 2·20 = 58

Формула Виллиса при неподвижном коронном колесе

Положите n_r = 0 и найдите частоту вращения водила.

(3000 − n_c)/(0 − n_c) = −58/18

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 3000·18/76 = 710,5 rpm

Ответ

n_c = 710,5 rpm

Водило вращается в том же направлении, что и солнечная шестерня.

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 1,948 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,8/2π)² = 1,948 m

Ответ

L = 1,948 m

18.Пружины и маятники

Ответ: E = 1,296 J

Угловая частота

ω = √(180/0,5) = 18,97 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·180·0,12² = 1,296 J

Ответ

E = 1,296 J

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 2,063 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(5000/25) = 14,14 rad/s

f_n = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,4²) = 2,063 Hz

Ответ

f_d = 2,063 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 1,473 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 20 + 10 = 30 kN/m

k_eq = 30·5/(30 + 5) = 4,286 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(4286/50) = 9,258 rad/s

f_n = 9,258/(2π) = 1,473 Hz

Ответ

f_n = 1,473 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics