Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 30 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 4 m/s². На каком расстоянии от места старта полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите d.

v_car = 30 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 11 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 11 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 10 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 10 kgθ = 40°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 0,5 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 4 kgm₂ = 0,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 75° к горизонту, и он падает на расстоянии 35 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 75°R = 35 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с вершины скалы высотой 15 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 15 m/sθ = 45°h = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 1,5 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую угловую скорость ω в rad/s.

r = 1,5 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,6 kg на лёгкой нити длиной 0,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,6 kgr = 0,5 mv_bottom = 8,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2 kg скользит 7 m по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,2. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2 kgθ = 40°μ = 0,2d = 7 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 3 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,3). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 2 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 3 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 2 kgμ = 0,3d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 12 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 4 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 13 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 12 gM = 4 kgh = 13 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,45 kg ударяется о стену со скоростью 17 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 9 m/s. Контакт длится 5 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,45 kgv_in = 17 m/sv_out = 9 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 6,5 kg и длиной 2 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. К его свободному концу прикреплён маленький шарик массой 1,5 kg. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите угловую скорость ω стержня при прохождении вертикального положения.

m = 6,5 kgL = 2 mm_ball = 1,5 kgg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной цилиндр массой 18 kg катится без проскальзывания со скоростью 10 m/s. Какой процент p полной кинетической энергии составляет энергия вращения?

m = 18 kgv = 10 m/sI = ½·m·r²

p = %

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 15 kW с частотой вращения 1500 rpm приводит шестерню с числом зубьев 50, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 60. КПД зубчатой пары — 95 %. Найдите крутящий момент T₁ на валу двигателя.

P = 15 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 50N₂ = 60η = 95%

T₁ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (18 зуб.) на входном валу вращается с частотой 1500 rpm и приводит колесо B (60 зуб.). Колесо C (18 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (50 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 1500 rpmA = 18B = 60C = 18D = 50

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,6 kg на пружине с k = 140 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 7 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 3 cm от положения равновесия.

m = 3,6 kgk = 140 N/mA = 7 cmx = 3 cm

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 8 g, летящая со скоростью 100 m/s, попадает в брусок массой 0,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 100 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 8 gv = 100 m/sM = 0,5 kgk = 100 N/m

A = cm

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 5 kg опирается на пружину жёсткостью 12 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 50 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 5 kgk = 12 kN/mc = 50 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 10 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 100 kN/m и k₂ = 15 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 10 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 450 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·30/4 = 15 s

Путь

d = v·t = 30·15 = 450 m

Ответ

d = 450 m

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 60 m/s.

2.Кинематика

Ответ: h_max = 36,17 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 11²/(2·9,81) = 6,167 m

Высота над землёй

h_max = 30 + 6,167 = 36,17 m

Ответ

h_max = 36,17 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 6,306 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0) = 6,306 m/s²

Ответ

a = 6,306 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,09 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4,905 − 0)/4,5 = 1,09 m/s²

Ответ

a = 1,09 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 26,2 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·35/sin 150°) = 26,2 m/s

Ответ

v₀ = 26,2 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,137 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 45° = 10,61 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 45° = 10,61 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 15 + 10,61·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,61 + √(112,5 + 294,3))/9,81 = 3,137 s

Ответ

t = 3,137 s

7.Движение по окружности

Ответ: ω = 2,859 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,8·1,5)) = 2,859 rad/s

Ответ

ω = 2,859 rad/s

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 57,27 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 8,5² − 4·9,81·0,5 = 52,63 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,6·52,63/0,5 − 0,6·9,81 = 57,27 N

Ответ

T_top = 57,27 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 21,04 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 19,62·0,766 = 15,03 N

F = μN = 0,2·15,03 = 3,006 N

Работа против трения

W_f = F·d = 3,006·7 = 21,04 J

Ответ

W_f = 21,04 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 3,598 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 19,62·3 = 58,86 J

μ·m₁g·d = 0,3·29,43·3 = 26,49 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 32,37 → v = √(2·32,37/5) = 3,598 m/s

Ответ

v = 3,598 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 534 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,13) = 1,597 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 4)·1,597/0,012 = 534 m/s

Ответ

v = 534 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 2340 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,45·(9 + 17) = 11,7 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 11,7/0,005 = 2340 N

Ответ

F_avg = 2340 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 3,565 rad/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 6,5·9,81·1 + 1,5·9,81·2 = 93,19 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 8,667 + 6 = 14,67 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 93,19 → ω = √(2·93,19/14,67) = 3,565 rad/s

Ответ

ω = 3,565 rad/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: p = 33,33 %

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·18·10² = 900 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,5·m·r²·(v/r)² = 0,5·900 = 450 J

Доля вращения

p = 450/1350·100% = c/(1 + c)·100% = 33,33%

Ответ

p = 33,33 %

Доля зависит только от формы, а не от массы или скорости.

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₁ = 95,49 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Ответ

T₁ = 95,49 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 162 rpm

Первая ступень

n_B = 1500·18/60 = 450 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 450·18/50 = 162 rpm

Ответ

n_out = 162 rpm

общее передаточное отношение = 9,259 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,3944 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(140/3,6) = 6,236 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 6,236·√(0,07² − 0,03²) = 0,3944 m/s

Ответ

v = 0,3944 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: A = 11,22 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,008·100/0,508 = 1,575 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(100/0,508) = 14,03 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 1,575/14,03 = 0,1122 m = 11,22 cm

Ответ

A = 11,22 cm

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,1021

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·5) = 489,9 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 50/489,9 = 0,1021

Ответ

ζ = 0,1021

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 115 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 15 = 115 kN/m

Ответ

k_eq = 115 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics