Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 108 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 108 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 1,5 m/s² в течение 9 s, затем движется с постоянной скоростью 6 s и, наконец, тормозит с замедлением 5 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 9 st₂ = 6 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 4 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 4 kgθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 70 N тянет передний брусок массой 3 kg; брусок массой 4 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgF = 70 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 36 m/s под углом 20° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 68 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 36 m/sθ = 20°x = 68 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 34 m/s под углом 65° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 2 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 34 m/sθ = 65°h_roof = 2 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,4 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 20° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 1,4 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,6 kg на лёгкой нити длиной 1,3 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 10,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,6 kgr = 1,3 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 15 m вдоль плоскости.

θ = 25°μ = 0,2d = 15 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 5 kgh = 2,5 mL = 2,5 mμ = 0,1k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1400 kg, движущийся со скоростью 24 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1700 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 1400 kgv₁ = 24 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1600 kg, едущий на восток со скоростью 19 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1500 kg, едущим на север со скоростью 12 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 1600 kgv₁ = 19 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 12 m/s (N)

v′ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Груз массой 12 kg висит на лёгкой нити, намотанной на блок — однородный сплошной диск массой 10 kg и радиусом 0,2 m, вращающийся на гладкой горизонтальной оси. Груз отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m = 12 kgM = 10 kgR = 0,2 mg = 9,81 m/s²

T = N

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный сплошной диск (масса 24 kg, радиус 0,4 m) свободно вращается с частотой 1200 rpm на вертикальном валу без трения. На него без начальной скорости опускается тонкое кольцо массой 13 kg того же радиуса, центрированное на валу, и оба тела быстро начинают вращаться вместе. Найдите их общую частоту вращения n₂ в rpm.

M_disc = 24 kgM_ring = 13 kgR = 0,4 mn₁ = 1200 rpm

n₂ = rpm

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 2,2 kW с частотой вращения 1500 rpm приводит шестерню с числом зубьев 15, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 24. Потерями пренебречь. Найдите выходной крутящий момент T₂ на валу колеса.

P = 2,2 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 15N₂ = 24η = 100%

T₂ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Открытый ремень соединяет шкив 80 mm и шкив 200 mm, центры которых находятся на расстоянии 500 mm. Найдите угол обхвата θ на меньшем шкиве в градусах.

d₁ = 80 mmd₂ = 200 mmC = 500 mm

θ = °

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,5 kg на пружине с k = 380 N/m оттягивают на 15 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 0,45 s (со знаком).

m = 1,5 kgk = 380 N/mA = 15 cmt = 0,45 s

x = cm

18.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 280 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 18 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 14 cm от положения равновесия.

k = 280 N/mA = 18 cmx = 14 cm

K = J

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 40 kg опирается на пружину жёсткостью 150 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 1960 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 40 kgk = 150 kN/mc = 1960 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 10 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 20 kN/m и k₂ = 80 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 10 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 60 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·7,5) = 60 m

Ответ

s = 60 m

2.Кинематика

Ответ: s = 160 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 1,5·9 = 13,5 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·1,5·9² = 60,75 m

s₂ = 13,5·6 = 81 m

s₃ = 13,5²/(2·5) = 18,23 m

Полный путь

s = 60,75 + 81 + 18,23 = 160 m

Ответ

s = 160 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,02 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0,2·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,1638) = 4,02 m/s²

Ответ

a = 4,02 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 40 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (70 − 13,73)/7 = 8,038 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 4·(8,038 + 1,962) = 40 N

Ответ

T = 40 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 4,931 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Время до стены

v_x = 36·cos 20° = 33,83 m/s

t = x/v_x = 68/33,83 = 2,01 s

Высота в этот момент

y = 12,31·2,01 − ½·9,81·2,01² = 4,931 m

Ответ

y = 4,931 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 89,33 m

Разложите начальную скорость

v_x = 14,37 m/s, v_y = 30,81 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

2 = 30,81·t − 4,905·t²

t = (30,81 + √(30,81² − 2·9,81·2))/9,81 = 6,217 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 14,37·6,217 = 89,33 m

Ответ

x = 89,33 m

7.Движение по окружности

Ответ: T = 2,301 s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,4·sin 20° = 0,4788 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,4788·9,81·tan 20°) = 1,308 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·0,4788/1,308 = 2,301 s

Ответ

T = 2,301 s

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 57,21 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·1,3 = 59,24 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,6·59,24/1,3 − 1,6·9,81 = 57,21 N

Ответ

T_top = 57,21 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 8,428 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·15·(0,4226 − 0,2·0,9063)) = 8,428 m/s

Ответ

v = 8,428 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 66,44 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(2,5 − 0,1·2,5) = 110,4 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 110,4 → x = √(2·110,4/500) = 0,6644 m = 66,44 cm

Ответ

x = 66,44 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 221110 J

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·24/3100 = 10,84 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1400·24² = 403200 J

K_after = ½·3100·10,84² = 182090 J

Потерянная энергия

ΔK = 403200 − 182090 = 221110 J

Ответ

ΔK = 221110 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 11,4 m/s

Составляющие импульса

p_x = 1600·19 = 30400 kg·m/s

p_y = 1500·12 = 18000 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 35329/3100 = 11,4 m/s

Ответ

v′ = 11,4 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: T = 34,62 N

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Груз и блок

брусок: m·g − T = m·a

блок: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Ускорение

a = m·g/(m + M/2) = 12·9,81/(12 + 5) = 6,925 m/s²

Натяжение

T = m·(g − a) = 12·(9,81 − 6,925) = 34,62 N

Ответ

T = 34,62 N

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: n₂ = 576 rpm

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Моменты инерции

I₁ = ½·24·0,4² = 1,92 kg·m²

I₂ = 13·0,4² = 2,08 kg·m²

Закон сохранения момента импульса

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 1200·1,92/4 = 576 rpm

Ответ

n₂ = 576 rpm

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₂ = 22,41 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/157,1 = 14,01 N·m

Выходной крутящий момент

T₂ = 14,01·24/15·1 = 22,41 N·m

Ответ

T₂ = 22,41 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: θ = 166,2 °

Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = e^μθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.

Угол ремня

asin(0,12) = 6,892°

Угол обхвата

θ = 180 − 2·6,892 = 166,2°

Ответ

θ = 166,2°

17.Пружины и маятники

Ответ: x = 9,566 cm

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(380/1,5) = 15,92 rad/s

ω·t = 15,92·0,45 = 7,162 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 15·cos(7,162) = 9,566 cm

Ответ

x = 9,566 cm

18.Пружины и маятники

Ответ: K = 1,792 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·280·0,18² = 4,536 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·280·0,14² = 2,744 J

Кинетическая энергия

K = 4,536 − 2,744 = 1,792 J

Ответ

K = 1,792 J

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,4001

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·40) = 4899 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 1960/4899 = 0,4001

Ответ

ζ = 0,4001

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 100 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 80 = 100 kN/m

Ответ

k_eq = 100 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics