Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 54 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,2 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 54 km/ht_r = 1,2 sa = −6,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 17 m/s с края крыши на высоте 35 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 17 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 10 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 10 kgθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 35° со скоростью 5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 5 m/sθ = 35°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 20° к горизонту, и он падает на расстоянии 95 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 20°R = 95 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 23 m/s под углом 70° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 3 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 23 m/sθ = 70°h_roof = 3 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,3 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 45° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 1,3 mθ = 45°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,6 kg на нити длиной 0,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 3 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,6 kgr = 0,5 mv = 3 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 100 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,5. Найдите тормозной путь d.

v = 100 km/hμ = 0,5g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3,5 m (μ = 0,25), а затем наезжает на пружину (k = 2000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 5 kgh = 2,5 mL = 3,5 mμ = 0,25k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 14 kg, движущийся горизонтально со скоростью 11 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 3 kg продолжает движение вперёд со скоростью 45 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 11 kg (положительна в исходном направлении).

M = 14 kgu = 11 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 45 m/sm₂ = 11 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 5 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 2,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,4 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 35° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 5 gM = 2,5 kgL = 1,4 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 4 kg и длиной 1,7 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. К его свободному концу прикреплён маленький шарик массой 3 kg. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите угловую скорость ω стержня при прохождении вертикального положения.

m = 4 kgL = 1,7 mm_ball = 3 kgg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной шар начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 30° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его скорость v после того, как он прокатился 6,5 m вдоль склона.

θ = 30°s = 6,5 mI = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 0,75 kW с частотой вращения 1440 rpm приводит шестерню с числом зубьев 36, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 40. КПД зубчатой пары — 96 %. Найдите крутящий момент T₁ на валу двигателя.

P = 0,75 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 36N₂ = 40η = 96%

T₁ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 3 kW с частотой 1440 rpm приводит колесо A (16 зубьев), которое зацепляется с колесом B (50 зубьев). Колесо C (18 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (20 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 97%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 3 kWn_in = 1440 rpmA = 16B = 50C = 18D = 20η_mesh = 97%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 0,7 kg на пружине с k = 380 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 11 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 4 cm от положения равновесия.

m = 0,7 kgk = 380 N/mA = 11 cmx = 4 cm

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 30 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 7 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 3 cm от положения равновесия.

k = 30 N/mA = 7 cmx = 3 cm

U = J

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 20 kg на пружине жёсткостью 4 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,35. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 20 kgk = 4 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 100 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 100 kN/m, у нижней k₂ = 10 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 100 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 35,31 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 15·1,2 = 18 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·6,5) = 17,31 m

Итого

d = 18 + 17,31 = 35,31 m

Ответ

d = 35,31 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 49,73 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9,81) = 14,73 m

Высота над землёй

h_max = 35 + 14,73 = 49,73 m

Ответ

h_max = 49,73 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 64,3 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 56,27 + 8,036 = 64,3 N

Ответ

F = 64,3 N

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 1,83 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 35° + 0,15·cos 35°) = 6,832 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 5²/(2·6,832) = 1,83 m

Ответ

d = 1,83 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 38,08 m/s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·95/sin 40°) = 38,08 m/s

Ответ

v₀ = 38,08 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 33,53 m

Разложите начальную скорость

v_x = 7,866 m/s, v_y = 21,61 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

3 = 21,61·t − 4,905·t²

t = (21,61 + √(21,61² − 2·9,81·3))/9,81 = 4,263 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 7,866·4,263 = 33,53 m

Ответ

x = 33,53 m

7.Движение по окружности

Ответ: v = 3,003 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,3·sin 45° = 0,9192 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,9192·9,81·tan 45°) = 3,003 m/s

Ответ

v = 3,003 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 16,69 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,6·9,81 + 0,6·3²/0,5 = 5,886 + 10,8 = 16,69 N

Ответ

T = 16,69 N

9.Работа и энергия

Ответ: d = 78,65 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 100/3,6 = 27,78 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27,78²/(2·0,5·9,81) = 78,65 m

Ответ

d = 78,65 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,646 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(2,5 − 0,25·3,5) = 79,71 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,625) = 5,646 m/s

Ответ

v = 5,646 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 1,727 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Импульс до удара

p = M·u = 14·11 = 154 kg·m/s

Импульс после удара

154 = 3·45 + 11·v′₂

v′₂ = (154 − 135)/11 = 1,727 m/s

Ответ

v′₂ = 1,727 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 1117 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,4·(1 − cos 35°) = 0,2532 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,2532) = 2,229 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 2,505·2,229/0,005 = 1117 m/s

Ответ

v = 1117 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 3,649 rad/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 4·9,81·0,85 + 3·9,81·1,7 = 83,38 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 3,853 + 8,67 = 12,52 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 83,38 → ω = √(2·83,38/12,52) = 3,649 rad/s

Ответ

ω = 3,649 rad/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 6,749 m/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Высота спуска

h = s·sin θ = 6,5·sin 30° = 3,25 m

Энергетический баланс при качении

Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,4)

v = √(2·9,81·3,25/1,4) = 6,749 m/s

Ответ

v = 6,749 m/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₁ = 4,974 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/150,8 = 4,974 N·m

Ответ

T₁ = 4,974 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 65 N·m

Скорость на выходе

n_out = 1440·(16/50)·(18/20) = 414,7 rpm

ω_out = 2π·414,7/60 = 43,43 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 3000·0,97² = 2823 W

T_out = P_out/ω_out = 2823/43,43 = 65 N·m

Ответ

T_out = 65 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: v = 2,387 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(380/0,7) = 23,3 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 23,3·√(0,11² − 0,04²) = 2,387 m/s

Ответ

v = 2,387 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: U = 0,0135 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·30·0,07² = 0,0735 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·30·0,03² = 0,0135 J

Ответ

U = 0,0135 J

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 2,108 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(4000/20) = 14,14 rad/s

f_n = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,35²) = 2,108 Hz

Ответ

f_d = 2,108 Hz

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 9,091 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/10 → k_eq = 100·10/(100 + 10) = 9,091 kN/m

Ответ

k_eq = 9,091 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics