Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 120 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 120 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 14 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 14 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 7 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 7 kgθ = 30°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 25° со скоростью 3 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 3 m/sθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 40° к горизонту, и он падает на расстоянии 15 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 40°R = 15 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 11 m/s под углом 20° к горизонту с вершины обрыва высотой 5 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 11 m/sθ = 20°h = 5 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 65 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 65 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 1,5 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 2000 N/m. На неё кладут мяч массой 0,1 kg, сжимают пружину на 3 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,1 kgk = 2000 N/mx = 3 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,3). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 6 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 1 m.

m₁ = 2 kgm₂ = 6 kgμ = 0,3d = 1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 700 kg, движущийся со скоростью 16 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1200 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 700 kgv₁ = 16 m/sm₂ = 1200 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1700 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1300 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 22 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1700 kgm₂ = 1300 kgd = 22 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 9 kg и длиной 0,6 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите угловую скорость ω стержня при прохождении вертикального положения.

m = 9 kgL = 0,6 mg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный сплошной диск (масса 20 kg, радиус 0,35 m) свободно вращается с частотой 900 rpm на вертикальном валу без трения. На него без начальной скорости опускается тонкое кольцо массой 13 kg того же радиуса, центрированное на валу, и оба тела быстро начинают вращаться вместе. Найдите их общую частоту вращения n₂ в rpm.

M_disc = 20 kgM_ring = 13 kgR = 0,35 mn₁ = 900 rpm

n₂ = rpm

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 3 kW с частотой вращения 2900 rpm приводит шестерню с числом зубьев 30, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 50. Потерями пренебречь. Найдите выходной крутящий момент T₂ на валу колеса.

P = 3 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 30N₂ = 50η = 100%

T₂ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 15 зубьев, а каждый сателлит — 30 зубьев. Водило закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 3000 rpm. Найдите частоту вращения n_r коронного колеса (по модулю).

N_s = 15N_p = 30n_s = 3000 rpm

n_r = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2,4 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,4 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,7 kg на пружине с k = 170 N/m оттягивают на 12 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 2,7 kgk = 170 N/mA = 12 cm

E = J

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 40 mm через один цикл следует пик 31,1 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 40 mmx₁ = 31,1 mmn = 1

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 10 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 80 kN/m, у нижней k₂ = 5 kN/m. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 85,47 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·6,5) = 85,47 m

Ответ

s = 85,47 m

2.Кинематика

Ответ: t = 4,282 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−30 = 14·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 14·t − 30 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (14 + √(14² + 2·9,81·30))/9,81 = 4,282 s

Ответ

t = 4,282 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,631 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 30° − 0,15·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1299) = 3,631 m/s²

Ответ

a = 3,631 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 0,7066 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 25° + 0,25·cos 25°) = 6,369 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 3²/(2·6,369) = 0,7066 m

Ответ

d = 0,7066 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 12,22 m/s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·15/sin 80°) = 12,22 m/s

Ответ

v₀ = 12,22 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 45,71 °

Разложите начальную скорость

v_x = 11·cos 20° = 10,34 m/s

v_y0 = 11·sin 20° = 3,762 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(3,762² + 2·9,81·5) = 10,6 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 10,6/10,34 → α = 45,71°

Ответ

α = 45,71°

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 17,86 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·65) = 17,86 m/s

Ответ

v_max = 17,86 m/s (64,28 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 3,836 m/s

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,5) = 3,836 m/s

Ответ

v_min = 3,836 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: h = 0,9174 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 3 cm = 0,03 m

½kx² = ½·2000·0,03² = 0,9 J

Высота

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 0,9/0,981 = 0,9174 m

Ответ

h = 0,9174 m

10.Работа и энергия

Ответ: v = 3,639 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 58,86·1 = 58,86 J

μ·m₁g·d = 0,3·19,62·1 = 5,886 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 52,97 → v = √(2·52,97/8) = 3,639 m/s

Ответ

v = 3,639 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 56589 J

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·16/1900 = 5,895 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·700·16² = 89600 J

K_after = ½·1900·5,895² = 33011 J

Потерянная энергия

ΔK = 89600 − 33011 = 56589 J

Ответ

ΔK = 56589 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 32,79 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·22) = 18,58 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·18,58/1700 = 32,79 m/s

Ответ

v₁ = 32,79 m/s

(118,1 km/h)

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 7,004 rad/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 = 9·9,81·0,3 = 26,49 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 = 9·0,6²/3 = 1,08 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 26,49 → ω = √(2·26,49/1,08) = 7,004 rad/s

Ответ

ω = 7,004 rad/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: n₂ = 391,3 rpm

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Моменты инерции

I₁ = ½·20·0,35² = 1,225 kg·m²

I₂ = 13·0,35² = 1,592 kg·m²

Закон сохранения момента импульса

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 900·1,225/2,817 = 391,3 rpm

Ответ

n₂ = 391,3 rpm

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₂ = 16,46 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/303,7 = 9,879 N·m

Выходной крутящий момент

T₂ = 9,879·50/30·1 = 16,46 N·m

Ответ

T₂ = 16,46 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_r = 600 rpm

Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.

Число зубьев коронного колеса

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·30 = 75

Формула Виллиса при неподвижном водиле

При n_c = 0 солнечная шестерня приводит коронное колесо через сателлиты, которые работают как паразитные колёса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −3000·15/75 = −600 rpm

|n_r| = 600 rpm

Ответ

n_r = 600 rpm

Коронное колесо вращается в направлении, противоположном солнечной шестерне.

17.Пружины и маятники

Ответ: T = 3,108 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,4/9,81) = 3,108 s

Ответ

T = 3,108 s

18.Пружины и маятники

Ответ: E = 1,224 J

Угловая частота

ω = √(170/2,7) = 7,935 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·170·0,12² = 1,224 J

Ответ

E = 1,224 J

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,04002

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/1)·ln(40/31,1) = 0,2517

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2517/√(39,48 + 0,06334) = 0,04002

Ответ

ζ = 0,04002

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 3,453 Hz

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/5 → k_eq = 80·5/(80 + 5) = 4,706 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(4706/10) = 21,69 rad/s

f_n = 21,69/(2π) = 3,453 Hz

Ответ

f_n = 3,453 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics