Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 36 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 36 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 50 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 29 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y над землёй они встретятся?

H = 50 mv_0B = 29 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 12 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 12 kgθ = 40°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 4 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 26 m/s под углом 20° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 27 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 26 m/sθ = 20°x = 27 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 32 m/s под углом 65° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 20 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 32 m/sθ = 65°h_roof = 20 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 125 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 125 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,1 kg на нити длиной 0,8 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 6 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,1 kgr = 0,8 mv = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 1500 N/m. На неё кладут мяч массой 0,5 kg, сжимают пружину на 10 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,5 kgk = 1500 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,4). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 3 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 2,5 m.

m₁ = 2 kgm₂ = 3 kgμ = 0,4d = 2,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 14 kg, движущийся горизонтально со скоростью 10 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 1 kg продолжает движение вперёд со скоростью 40 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 13 kg (положительна в исходном направлении).

M = 14 kgu = 10 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 40 m/sm₂ = 13 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1400 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1800 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 17 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1400 kgm₂ = 1800 kgd = 17 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 9,5 kg и длиной 2,4 m закреплён шарниром на одном конце и удерживается горизонтально. Его отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите вертикальную силу R, с которой шарнир действует на стержень сразу после освобождения.

m = 9,5 kgL = 2,4 mg = 9,81 m/s²

R = N

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной шар катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 25° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Оно начинает движение из состояния покоя. За какое время t оно прокатится 5,5 m вниз по склону?

θ = 25°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²s = 5,5 m

t = s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 0,75 kW с частотой 1440 rpm приводит червяк с числом заходов 3. Червячное колесо имеет 48 зубьев, КПД передачи 70%. Найдите выходной вращающий момент T_w на валу колеса.

z = 3N_w = 48n = 1440 rpmP = 0,75 kWη = 70%

T_w = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 30 зубьев, а каждый сателлит — 30 зубьев. Водило закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 900 rpm. Найдите частоту вращения n_r коронного колеса (по модулю).

N_s = 30N_p = 30n_s = 900 rpm

n_r = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 0,6 kg на пружине с k = 370 N/m оттягивают на 14 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 1,25 s (со знаком).

m = 0,6 kgk = 370 N/mA = 14 cmt = 1,25 s

x = cm

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,8 kg на пружине с k = 430 N/m оттягивают на 5 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 0,8 kgk = 430 N/mA = 5 cm

a_max = m/s²

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 150 kg на пружине жёсткостью 50 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,6. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 150 kgk = 50 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 20 kg висит на пружине k₃ = 5 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 5 kN/m и k₂ = 5 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 1,667 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/6 = 1,667 s

Ответ

t = 1,667 s

2.Кинематика

Ответ: y = 35,42 m

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

50 − ½g·t² = 29·t − ½g·t² → t = 50/29 = 1,724 s

Высота встречи

y = 29·1,724 − ½·9,81·1,724² = 35,42 m

Ответ

y = 35,42 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 6,306 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0) = 6,306 m/s²

Ответ

a = 6,306 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,809 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 11,77)/8,5 = 3,809 m/s²

Ответ

a = 3,809 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 3,837 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Время до стены

v_x = 26·cos 20° = 24,43 m/s

t = x/v_x = 27/24,43 = 1,105 s

Высота в этот момент

y = 8,893·1,105 − ½·9,81·1,105² = 3,837 m

Ответ

y = 3,837 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 69,18 m

Разложите начальную скорость

v_x = 13,52 m/s, v_y = 29 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

20 = 29·t − 4,905·t²

t = (29 + √(29² − 2·9,81·20))/9,81 = 5,116 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 13,52·5,116 = 69,18 m

Ответ

x = 69,18 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 19,18 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·125) = 19,18 m/s

Ответ

v_max = 19,18 m/s (69,05 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 60,29 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,1·9,81 + 1,1·6²/0,8 = 10,79 + 49,5 = 60,29 N

Ответ

T = 60,29 N

9.Работа и энергия

Ответ: h = 1,529 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·1500·0,1² = 7,5 J

Высота

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

h = ½kx²/(mg) = 7,5/4,905 = 1,529 m

Ответ

h = 1,529 m

10.Работа и энергия

Ответ: v = 4,646 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 29,43·2,5 = 73,58 J

μ·m₁g·d = 0,4·19,62·2,5 = 19,62 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 53,95 → v = √(2·53,95/5) = 4,646 m/s

Ответ

v = 4,646 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 7,692 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Импульс до удара

p = M·u = 14·10 = 140 kg·m/s

Импульс после удара

140 = 1·40 + 13·v′₂

v′₂ = (140 − 40)/13 = 7,692 m/s

Ответ

v′₂ = 7,692 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 37,34 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·17) = 16,33 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3200·16,33/1400 = 37,34 m/s

Ответ

v₁ = 37,34 m/s

(134,4 km/h)

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: R = 23,3 N

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Моменты относительно шарнира

В момент освобождения ω = 0, поэтому центростремительного ускорения нет, и центр ускоряется строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·2,4) = 6,131 rad/s²

Вертикальные силы

a_G = α·L/2 = 7,357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 9,5·(9,81 − 7,357) = 23,3 N

Ответ

R = 23,3 N

R = m·g/4, не зависит от длины.

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: t = 1,927 s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Уравнения движения

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

Ускорение

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 25°/1,4 = 2,961 m/s²

Время

s = ½·a·t² → t = √(2·5,5/2,961) = 1,927 s

Ответ

t = 1,927 s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_w = 55,7 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения колеса

n_w = n·z/N_w = 1440·3/48 = 90 rpm

Выходной крутящий момент

ω_w = 2π·90/60 = 9,425 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,7·750/9,425 = 55,7 N·m

Ответ

T_w = 55,7 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_r = 300 rpm

Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.

Число зубьев коронного колеса

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·30 = 90

Формула Виллиса при неподвижном водиле

При n_c = 0 солнечная шестерня приводит коронное колесо через сателлиты, которые работают как паразитные колёса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −900·30/90 = −300 rpm

|n_r| = 300 rpm

Ответ

n_r = 300 rpm

Коронное колесо вращается в направлении, противоположном солнечной шестерне.

17.Пружины и маятники

Ответ: x = 13,03 cm

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(370/0,6) = 24,83 rad/s

ω·t = 24,83·1,25 = 31,04 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 14·cos(31,04) = 13,03 cm

Ответ

x = 13,03 cm

18.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 26,88 m/s²

Угловая частота

ω = √(430/0,8) = 23,18 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,05·23,18² = 26,88 m/s²

Ответ

a_max = 26,88 m/s²

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 2,325 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(50000/150) = 18,26 rad/s

f_n = 18,26/(2π) = 2,906 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,906·√(1 − 0,6²) = 2,325 Hz

Ответ

f_d = 2,325 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 2,055 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 5 + 5 = 10 kN/m

k_eq = 10·5/(10 + 5) = 3,333 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(3333/20) = 12,91 rad/s

f_n = 12,91/(2π) = 2,055 Hz

Ответ

f_n = 2,055 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics