Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 120 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,6 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 120 km/ht_r = 0,6 sa = −5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2,5 m/s² в течение 11 s, затем движется с постоянной скоростью 25 s и, наконец, тормозит с замедлением 2,5 m/s² до остановки. Найдите полное время движения t.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 11 st₂ = 25 sa₃ = −2,5 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 8 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 8 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 7,5 kg на наклонной плоскости под углом 35° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 6,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 6,5 kgθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 30 m/s под углом 35° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 69 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 30 m/sθ = 35°x = 69 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с вершины скалы высотой 15 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 25 m/sθ = 20°h = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Поворот радиусом 70 m имеет вираж с уклоном 20°. С какой скоростью v автомобиль может пройти его вообще без участия трения? Примите g = 9,81 m/s².

r = 70 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 50 m имеет вираж с уклоном 18°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 50 mθ = 18°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 1000 N/m. На неё кладут мяч массой 0,05 kg, сжимают пружину на 8 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,05 kgk = 1000 N/mx = 8 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 35° и тянется вверх по ней постоянной силой 105 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 4 m вверх по плоскости.

m = 10 kgF = 105 Nθ = 35°μ = 0,1d = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 8 kg, движущийся горизонтально со скоростью 23 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 5 kg продолжает движение вперёд со скоростью 33 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 3 kg (положительна в исходном направлении).

M = 8 kgu = 23 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 33 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 900 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 2000 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 20 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,75. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 900 kgm₂ = 2000 kgd = 20 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 5 kg и длиной 2,8 m закреплён шарниром на одном конце и удерживается горизонтально. Его отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a_tip свободного конца сразу после освобождения.

m = 5 kgL = 2,8 mg = 9,81 m/s²

a_tip = m/s²

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 15° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Его радиус равен 0,2 m. Найдите его угловую скорость ω после того, как он прокатился 3,5 m вдоль склона.

θ = 15°s = 3,5 mI = m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,2 m

ω = rad/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Червяк с числом заходов 1 вращается с частотой 960 rpm и приводит червячное колесо с 50 зубьями. Найдите частоту вращения n_w колеса.

z = 1N_w = 50n = 960 rpm

n_w = rpm

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 11 kW с частотой 2900 rpm приводит колесо A (20 зубьев), которое зацепляется с колесом B (32 зубьев). Колесо C (18 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (72 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 98%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 11 kWn_in = 2900 rpmA = 20B = 32C = 18D = 72η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,2 kg на пружине с k = 40 N/m оттягивают на 9 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 0,95 s (со знаком).

m = 3,2 kgk = 40 N/mA = 9 cmt = 0,95 s

x = cm

18.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 15 g, летящая со скоростью 100 m/s, попадает в брусок массой 1 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1100 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 15 gv = 100 m/sM = 1 kgk = 1100 N/m

A = cm

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 10 mm через 2 циклов следует пик 3,6 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 10 mmx₂ = 3,6 mmn = 2

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 50 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 5 kN/m и k₂ = 10 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 131,1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 33,33·0,6 = 20 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·5) = 111,1 m

Итого

d = 20 + 111,1 = 131,1 m

Ответ

d = 131,1 m

2.Кинематика

Ответ: t = 47 s

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2,5·11 = 27,5 m/s

Время торможения

t₃ = v/a₃ = 27,5/2,5 = 11 s

Общее время

t = 11 + 25 + 11 = 47 s

Ответ

t = 47 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,972 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 20° − 0,15·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,141) = 1,972 m/s²

Ответ

a = 1,972 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,4641 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль нити

m₂·g = 63,77 N

m₁·g·sin θ = 42,2 N

μ·m₁·g·cos θ = 15,07 N

Ускорение системы

a = (63,77 − 42,2 − 15,07)/14 = 0,4641 m/s²

Ответ

a = 0,4641 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 9,645 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 30·cos 35° = 24,57 m/s

t = x/v_x = 69/24,57 = 2,808 s

Высота в этот момент

y = 17,21·2,808 − ½·9,81·2,808² = 9,645 m

Ответ

y = 9,645 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 2,826 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 20° = 23,49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 20° = 8,551 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 15 + 8,551·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,551 + √(73,11 + 294,3))/9,81 = 2,826 s

Ответ

t = 2,826 s

7.Движение по окружности

Ответ: v = 15,81 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Баланс сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Скорость

v = √(r·g·tan θ) = √(70·9,81·tan 20°) = 15,81 m/s

Ответ

v = 15,81 m/s

(56,91 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 18,43 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(50·9,81·0,5943/0,8584) = 18,43 m/s

Ответ

v_max = 18,43 m/s

(66,34 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: h = 6,524 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·1000·0,08² = 3,2 J

Высота

m·g = 0,05·9,81 = 0,4905 N

h = ½kx²/(mg) = 3,2/0,4905 = 6,524 m

Ответ

h = 6,524 m

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,706 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 56,27 N

μ·mg·cos θ = 8,036 N

Работа и энергия

½mv² = (105 − 64,3)·4 = 162,8 J

v = √(2·162,8/10) = 5,706 m/s

Ответ

v = 5,706 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 6,333 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 8·23 = 184 kg·m/s

Импульс после удара

184 = 5·33 + 3·v′₂

v′₂ = (184 − 165)/3 = 6,333 m/s

Ответ

v′₂ = 6,333 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 55,28 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·20) = 17,16 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·17,16/900 = 55,28 m/s

Ответ

v₁ = 55,28 m/s

(199 km/h)

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: a_tip = 14,71 m/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Моменты относительно шарнира

В момент освобождения ω = 0, поэтому центростремительного ускорения нет, и центр ускоряется строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·2,8) = 5,255 rad/s²

Ускорение свободного конца

a_tip = α·L = 5,255·2,8 = 14,71 m/s²

Ответ

a_tip = 14,71 m/s²

a_tip = 1,5·g при любой длине: свободный конец падает быстрее брошенного камня.

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 14,91 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Высота спуска

h = s·sin θ = 3,5·sin 15° = 0,9059 m

Энергетический баланс при качении

Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9,81·0,9059/2) = 2,981 m/s

ω = v/r = 2,981/0,2 = 14,91 rad/s

Ответ

ω = 14,91 rad/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_w = 19,2 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота вращения колеса

n_w = n·z/N_w = 960·1/50 = 19,2 rpm

Ответ

n_w = 19,2 rpm

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 222,6 N·m

Скорость на выходе

n_out = 2900·(20/32)·(18/72) = 453,1 rpm

ω_out = 2π·453,1/60 = 47,45 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 11000·0,98² = 10564 W

T_out = P_out/ω_out = 10564/47,45 = 222,6 N·m

Ответ

T_out = 222,6 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: x = −8,789 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(40/3,2) = 3,536 rad/s

ω·t = 3,536·0,95 = 3,359 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 9·cos(3,359) = −8,789 cm

Ответ

x = −8,789 cm

18.Пружины и маятники

Ответ: A = 4,489 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,015·100/1,015 = 1,478 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1100/1,015) = 32,92 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 1,478/32,92 = 0,04489 m = 4,489 cm

Ответ

A = 4,489 cm

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,08103

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/2)·ln(10/3,6) = 0,5108

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5108/√(39,48 + 0,2609) = 0,08103

Ответ

ζ = 0,08103

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 2,757 Hz

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 10 = 15 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(15000/50) = 17,32 rad/s

f_n = 17,32/(2π) = 2,757 Hz

Ответ

f_n = 2,757 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics