Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 80 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 80 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 17 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 17 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 10 m/s и останавливается через 17 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 10 m/sd = 17 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 9 kgm₂ = 5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 26 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с вершины скалы высотой 45 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 25 m/sθ = 60°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль переезжает через вершину бугра на дороге, имеющего форму дуги окружности радиусом 95 m. Примите g = 9,81 m/s². При какой скорости v_max колёса отрываются от дороги на вершине?

r = 95 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 50 m имеет вираж с уклоном 12°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 50 mθ = 12°μ_s = 0,2g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 2000 N/m. На неё кладут мяч массой 0,05 kg, сжимают пружину на 3 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,05 kgk = 2000 N/mx = 3 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 4 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 1500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 4 kgh = 3,5 mL = 2,5 mμ = 0,15k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 5 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 2,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 5 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 3 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,1 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 10° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 3 kgL = 1,1 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 3 kg и длиной 1,4 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. К его свободному концу прикреплён маленький шарик массой 1,5 kg. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v свободного конца при прохождении стержнем вертикального положения.

m = 3 kgL = 1,4 mm_ball = 1,5 kgg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный сплошной диск (масса 4 kg, радиус 0,45 m) свободно вращается с частотой 900 rpm на вертикальном валу без трения. На него без начальной скорости опускается тонкое кольцо массой 16 kg того же радиуса, центрированное на валу, и оба тела быстро начинают вращаться вместе. Найдите их общую частоту вращения n₂ в rpm.

M_disc = 4 kgM_ring = 16 kgR = 0,45 mn₁ = 900 rpm

n₂ = rpm

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 11 kW с частотой вращения 1500 rpm приводит шестерню с числом зубьев 18, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 36. КПД зубчатой пары — 97 %. Найдите крутящий момент T₁ на валу двигателя.

P = 11 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 18N₂ = 36η = 97%

T₁ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (18 зуб.) на входном валу вращается с частотой 3000 rpm и приводит колесо B (32 зуб.). Колесо C (12 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (18 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 3000 rpmA = 18B = 32C = 12D = 18

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,1 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,1 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,4 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 450 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max груза.

m = 2,4 kgk = 450 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 20 mm через 2 циклов следует пик 9,4 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 20 mmx₂ = 9,4 mmn = 2

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 10 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 30 kN/m, у нижней k₂ = 40 kN/m. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 10 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 2,963 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22,22/7,5 = 2,963 s

Ответ

t = 2,963 s

2.Кинематика

Ответ: t = 4,753 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−30 = 17·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 17·t − 30 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (17 + √(17² + 2·9,81·30))/9,81 = 4,753 s

Ответ

t = 4,753 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,2998

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 10²/(2·17) = 2,941 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,941/9,81 = 0,2998

Ответ

μ = 0,2998

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,242 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 17,66)/14 = 2,242 m/s²

Ответ

a = 2,242 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 67,86 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 40° = 19,92 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 40° = 16,71 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·16,71/9,81 = 3,407 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 19,92·3,407 = 67,86 m

Ответ

x = 67,86 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 5,955 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 60° = 12,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 60° = 21,65 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 45 + 21,65·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (21,65 + √(468,8 + 882,9))/9,81 = 5,955 s

Ответ

t = 5,955 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 30,53 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Нулевая нормальная реакция

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·95) = 30,53 m/s

Ответ

v_max = 30,53 m/s

(109,9 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 14,54 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(50·9,81·0,4035/0,9366) = 14,54 m/s

Ответ

v_max = 14,54 m/s

(52,34 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: h = 1,835 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 3 cm = 0,03 m

½kx² = ½·2000·0,03² = 0,9 J

Высота

m·g = 0,05·9,81 = 0,4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0,9/0,4905 = 1,835 m

Ответ

h = 1,835 m

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,83 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 39,24·(3,5 − 0,15·2,5) = 122,6 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,125) = 7,83 m/s

Ответ

v = 7,83 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 0,6667 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (5 − 2,5)/(5 + 2,5)·2 = 0,6667 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 2,5)·2 = 2,667 m/s

Ответ

v′₁ = 0,6667 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 86,46 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,1·(1 − cos 10°) = 0,01671 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,01671) = 0,5726 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 3,02·0,5726/0,02 = 86,46 m/s

Ответ

v = 86,46 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 5,741 m/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 3·9,81·0,7 + 1,5·9,81·1,4 = 41,2 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 1,96 + 2,94 = 4,9 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 41,2 → ω = √(2·41,2/4,9) = 4,101 rad/s

v = ω·L = 4,101·1,4 = 5,741 m/s

Ответ

v = 5,741 m/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: n₂ = 100 rpm

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Моменты инерции

I₁ = ½·4·0,45² = 0,405 kg·m²

I₂ = 16·0,45² = 3,24 kg·m²

Закон сохранения момента импульса

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 900·0,405/3,645 = 100 rpm

Ответ

n₂ = 100 rpm

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₁ = 70,03 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/157,1 = 70,03 N·m

Ответ

T₁ = 70,03 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 1125 rpm

Первая ступень

n_B = 3000·18/32 = 1688 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 1688·12/18 = 1125 rpm

Ответ

n_out = 1125 rpm

общее передаточное отношение = 2,667 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,3007 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,1/2π)² = 0,3007 m

Ответ

L = 0,3007 m

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,7164 m/s

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 2,4·9,81/450 = 0,05232 m = A

Наибольшая скорость

Скорость наибольшая в положении равновесия.

ω = √(450/2,4) = 13,69 rad/s

v_max = A·ω = 0,05232·13,69 = 0,7164 m/s

Ответ

v_max = 0,7164 m/s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,05997

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/2)·ln(20/9,4) = 0,3775

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3775/√(39,48 + 0,1425) = 0,05997

Ответ

ζ = 0,05997

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 6,59 Hz

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/40 → k_eq = 30·40/(30 + 40) = 17,14 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(17143/10) = 41,4 rad/s

f_n = 41,4/(2π) = 6,59 Hz

Ответ

f_n = 6,59 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics