Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 45 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 45 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 17 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 17 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 20 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 20 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 140 N тянет передний брусок массой 4 kg; брусок массой 10 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 10 kgm₂ = 4 kgF = 140 Nμ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 14 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 21 m/s под углом 20° к горизонту с вершины обрыва высотой 45 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 21 m/sθ = 20°h = 45 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 20° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 1 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,4 kg на нити длиной 1,2 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 4,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,4 kgr = 1,2 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1000 kg въезжает на подъём 5° с постоянной скоростью 90 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 600 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1000 kgθ = 5°F_r = 600 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 10,4 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 4 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.

m = 10 kgh = 10,4 mR = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 5 kg, движущаяся со скоростью 9 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,25 kg ударяется о стену со скоростью 26 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 16 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,25 kgv_in = 26 m/sv_out = 16 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Груз массой 15 kg висит на лёгкой нити, намотанной на блок — однородный сплошной диск массой 6,5 kg и радиусом 0,5 m, вращающийся на гладкой горизонтальной оси. Груз отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m = 15 kgM = 6,5 kgR = 0,5 mg = 9,81 m/s²

T = N

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный тонкий стержень массой 8 kg и длиной 0,8 m неподвижно висит на шарнире без трения в своём верхнем конце. Пуля массой 10 g, летящая горизонтально со скоростью 160 m/s, попадает в стержень на 0,67 m ниже шарнира и застревает в нём. Найдите угловую скорость ω стержня сразу после удара.

M = 8 kgL = 0,8 mm = 10 gv = 160 m/sd = 0,67 m

ω = rad/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Два параллельных вала расположены на расстоянии 81 mm. Их нужно соединить парой прямозубых колёс с модулем 1,5 mm и передаточным отношением 5 : 1 (понижающая передача). Сколько зубьев N₂ должно иметь колесо?

a = 81 mmm = 1,5 mmi = 5

N₂ =

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (50 зуб.) на входном валу вращается с частотой 1500 rpm и приводит колесо B (60 зуб.). Колесо C (32 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (40 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 1500 rpmA = 50B = 60C = 32D = 40

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,4 kg на пружине с k = 490 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 7 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 6 cm от положения равновесия.

m = 1,4 kgk = 490 N/mA = 7 cmx = 6 cm

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,8 kg на пружине с k = 340 N/m оттягивают на 7 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 0,8 kgk = 340 N/mA = 7 cm

E = J

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 50 mm через 2 циклов следует пик 38,9 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 50 mmx₂ = 38,9 mmn = 2

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 40 kg висит на пружине k₃ = 5 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 25 kN/m и k₂ = 5 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 40 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 17,36 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·4,5) = 17,36 m

Ответ

s = 17,36 m

2.Кинематика

Ответ: t = 4,394 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−20 = 17·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 17·t − 20 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (17 + √(17² + 2·9,81·20))/9,81 = 4,394 s

Ответ

t = 4,394 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,055 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 30° − 0,1·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,0866) = 4,055 m/s²

Ответ

a = 4,055 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 100 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (140 − 20,6)/14 = 8,528 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 10·(8,528 + 1,472) = 100 N

Ответ

T = 100 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 19,68 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 40° = 10,72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 40° = 8,999 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·8,999/9,81 = 1,835 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 10,72·1,835 = 19,68 m

Ответ

x = 19,68 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 57,16 °

Разложите начальную скорость

v_x = 21·cos 20° = 19,73 m/s

v_y0 = 21·sin 20° = 7,182 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(7,182² + 2·9,81·45) = 30,57 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 30,57/19,73 → α = 57,16°

Ответ

α = 57,16°

7.Движение по окружности

Ответ: v = 1,105 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1·sin 20° = 0,342 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,342·9,81·tan 20°) = 1,105 m/s

Ответ

v = 1,105 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 10,67 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,4·9,81 + 0,4·4,5²/1,2 = 3,924 + 6,75 = 10,67 N

Ответ

T = 10,67 N

9.Работа и энергия

Ответ: P = 36,37 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1000·9,81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 5° = 855 N

F = 855 + 600 = 1455 N

Мощность

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 1455·25 = 36375 W = 36,37 kW

Ответ

P = 36,37 kW

10.Работа и энергия

Ответ: v = 6,862 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(10,4 − 8) = 47,09 m²/s²

v = 6,862 m/s

Ответ

v = 6,862 m/s

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 13,85 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (5 − 1,5)/(5 + 1,5)·9 = 4,846 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1,5)·9 = 13,85 m/s

Ответ

v′₂ = 13,85 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 210 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,25·(16 + 26) = 10,5 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 10,5/0,05 = 210 N

Ответ

F_avg = 210 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: T = 26,2 N

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Груз и блок

брусок: m·g − T = m·a

блок: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Ускорение

a = m·g/(m + M/2) = 15·9,81/(15 + 3,25) = 8,063 m/s²

Натяжение

T = m·(g − a) = 15·(9,81 − 8,063) = 26,2 N

Ответ

T = 26,2 N

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 0,6265 rad/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Момент инерции после удара

I = M·L²/3 + m·d² = 8·0,8²/3 + 0,01·0,67² = 1,711 kg·m²

Момент импульса относительно шарнира

Сила в шарнире проходит через шарнир, поэтому во время удара её момент относительно него равен нулю.

m·v·d = I·ω → ω = 0,01·160·0,67/1,711 = 0,6265 rad/s

Ответ

ω = 0,6265 rad/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N₂ = 90

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Суммарное число зубьев

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·81/1,5 = 108

Делим по передаточному отношению

N₁ = 108/(1 + 5) = 18

N₂ = 5·18 = 90

Ответ

N₂ = 90

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 1000 rpm

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Первая ступень

n_B = 1500·50/60 = 1250 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 1250·32/40 = 1000 rpm

Ответ

n_out = 1000 rpm

общее передаточное отношение = 1,5 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,6745 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(490/1,4) = 18,71 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 18,71·√(0,07² − 0,06²) = 0,6745 m/s

Ответ

v = 0,6745 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: E = 0,833 J

Угловая частота

ω = √(340/0,8) = 20,62 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·340·0,07² = 0,833 J

Ответ

E = 0,833 J

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,01997

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/2)·ln(50/38,9) = 0,1255

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1255/√(39,48 + 0,01575) = 0,01997

Ответ

ζ = 0,01997

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 1,647 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 25 + 5 = 30 kN/m

k_eq = 30·5/(30 + 5) = 4,286 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(4286/40) = 10,35 rad/s

f_n = 10,35/(2π) = 1,647 Hz

Ответ

f_n = 1,647 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics