Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 80 km/h, тормозит с постоянным замедлением 8 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 80 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 20 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 18 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 20 mv_0B = 18 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 3 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 3 kgθ = 45°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 9 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 30° к горизонту, и он падает на расстоянии 70 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 30°R = 70 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с вершины скалы высотой 20 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 11 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Поворот радиусом 300 m имеет вираж с уклоном 20°. С какой скоростью v автомобиль может пройти его вообще без участия трения? Примите g = 9,81 m/s².

r = 300 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,5 kg на нити длиной 1,4 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,5 kgr = 1,4 mv = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 1 kg скользит 3 m по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,25. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 1 kgθ = 40°μ = 0,25d = 3 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 2,5 kgh = 3,5 mL = 2,5 mμ = 0,1k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 3,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 24 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 3,5 kgh = 24 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1000 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1000 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 15 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,75. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1000 kgm₂ = 1000 kgd = 15 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Вал передаёт 1 kW при 1400 rpm. Найдите крутящий момент T в валу.

P = 1 kWn = 1400 rpm

T = N·m

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 25° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьший коэффициент трения покоя μ_s, при котором нет проскальзывания.

θ = 25°I = m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Шкив 80 mm с частотой 2880 rpm приводит ремнём шкив 250 mm при проскальзывании 1,5 %. Найдите частоту вращения n₂ ведомого шкива.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 250 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 20 зубьев, а каждый сателлит — 24 зубьев. Водило закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 1440 rpm. Найдите частоту вращения n_r коронного колеса (по модулю).

N_s = 20N_p = 24n_s = 1440 rpm

n_r = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 0,7 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 0,7 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,9 kg на пружине с k = 320 N/m оттягивают на 5 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 2,9 kgk = 320 N/mA = 5 cm

E = J

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 50 mm через 5 циклов следует пик 2,1 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 50 mmx₅ = 2,1 mmn = 5

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 50 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 40 kN/m и k₂ = 80 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 50 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 30,86 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·8) = 30,86 m

Ответ

s = 30,86 m

2.Кинематика

Ответ: t = 1,111 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

20 − ½g·t² = 18·t − ½g·t² → t = 20/18 = 1,111 s

Ответ

t = 1,111 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,549 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 45° − 0,2·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1414) = 5,549 m/s²

Ответ

a = 5,549 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 23,03 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 17,66)/11,5 = 0,5971 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·0,5971 + 17,66 = 23,03 N

Ответ

T = 23,03 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 28,16 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·70/sin 60°) = 28,16 m/s

Ответ

v₀ = 28,16 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 24,14 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 40° = 8,426 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 40° = 7,071 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 20 + 7,071·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7,071 + √(49,99 + 392,4))/9,81 = 2,865 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 8,426·2,865 = 24,14 m

Ответ

x = 24,14 m

7.Движение по окружности

Ответ: v = 32,73 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Баланс сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Скорость

v = √(r·g·tan θ) = √(300·9,81·tan 20°) = 32,73 m/s

Ответ

v = 32,73 m/s

(117,8 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 27,76 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,5·9,81 + 0,5·8²/1,4 = 4,905 + 22,86 = 27,76 N

Ответ

T = 27,76 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 5,636 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 9,81·0,766 = 7,515 N

F = μN = 0,25·7,515 = 1,879 N

Работа против трения

W_f = F·d = 1,879·3 = 5,636 J

Ответ

W_f = 5,636 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,985 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(3,5 − 0,1·2,5) = 79,71 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,25) = 7,985 m/s

Ответ

v = 7,985 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 761,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,24) = 2,17 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 3,5)·2,17/0,01 = 761,7 m/s

Ответ

v = 761,7 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 29,71 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·15) = 14,86 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2000·14,86/1000 = 29,71 m/s

Ответ

v₁ = 29,71 m/s

(107 km/h)

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: T = 6,821 N·m

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1400/60 = 146,6 rad/s

Крутящий момент

T = P/ω = 1000/146,6 = 6,821 N·m

Ответ

T = 6,821 N·m

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: μ_s = 0,2332

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Уравнения движения

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

Ускорение

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 25°/2 = 2,073 m/s²

Необходимое трение

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 1·tan 25°/2 = 0,2332

Ответ

μ_s = 0,2332

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n₂ = 907,8 rpm

Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = e^μθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.

Частота вращения без проскальзывания

2880·80/250 = 921,6 rpm

С проскальзыванием

n₂ = 921,6·0,985 = 907,8 rpm

Ответ

n₂ = 907,8 rpm

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_r = 423,5 rpm

Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.

Число зубьев коронного колеса

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·24 = 68

Формула Виллиса при неподвижном водиле

При n_c = 0 солнечная шестерня приводит коронное колесо через сателлиты, которые работают как паразитные колёса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1440·20/68 = −423,5 rpm

|n_r| = 423,5 rpm

Ответ

n_r = 423,5 rpm

Коронное колесо вращается в направлении, противоположном солнечной шестерне.

17.Пружины и маятники

Ответ: T = 1,678 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(0,7/9,81) = 1,678 s

Ответ

T = 1,678 s

18.Пружины и маятники

Ответ: E = 0,4 J

Угловая частота

ω = √(320/2,9) = 10,5 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·320·0,05² = 0,4 J

Ответ

E = 0,4 J

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,1004

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/5)·ln(50/2,1) = 0,634

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,634/√(39,48 + 0,402) = 0,1004

Ответ

ζ = 0,1004

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 120 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 80 = 120 kN/m

Ответ

k_eq = 120 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics