Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 50 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,4 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 4,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 50 km/ht_r = 1,4 sa = −4,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 10 m/s с края крыши на высоте 15 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 10 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 3 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 3 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 30° со скоростью 9 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 9 m/sθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 16 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 19 m/s под углом 30° к горизонту с вершины обрыва высотой 55 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 19 m/sθ = 30°h = 55 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 140 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 140 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1 kg на лёгкой нити длиной 1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 9,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1 kgr = 1 mv_bottom = 9,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2 kg скользит 14 m по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,15. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2 kgθ = 40°μ = 0,15d = 14 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 5 kgh = 2 mL = 2,5 mμ = 0,15k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3 kg, движущаяся со скоростью 8 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 3 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1600 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 2000 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 10 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1600 kgm₂ = 2000 kgd = 10 mμ = 0,7g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 10 kg и длиной 0,5 m закреплён шарниром на одном конце и удерживается горизонтально. Его отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a_tip свободного конца сразу после освобождения.

m = 10 kgL = 0,5 mg = 9,81 m/s²

a_tip = m/s²

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной шар катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 20° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Оно начинает движение из состояния покоя. За какое время t оно прокатится 7,5 m вниз по склону?

θ = 20°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²s = 7,5 m

t = s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 3 kW с частотой вращения 2900 rpm приводит шестерню с числом зубьев 20, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 30. КПД зубчатой пары — 97 %. Найдите выходной крутящий момент T₂ на валу колеса.

P = 3 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 20N₂ = 30η = 97%

T₂ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (32 зубьев) на входном валу вращается с частотой 2880 rpm и приводит колесо B (36 зубьев). Колесо C (24 зубьев) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D на выходном валу. Выходной вал должен вращаться с частотой 768 rpm. Сколько зубьев N_D должно иметь колесо D?

n_in = 2880 rpmA = 32B = 36C = 24n_out = 768 rpm

N_D =

17.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2,3 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,3 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 15 g, летящая со скоростью 350 m/s, попадает в брусок массой 0,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 300 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 15 gv = 350 m/sM = 0,5 kgk = 300 N/m

A = cm

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 5 kg на пружине жёсткостью 200 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,5. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 5 kgk = 200 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 5 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 20 kN/m, у нижней k₂ = 30 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 5 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 40,88 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 13,89·1,4 = 19,44 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·4,5) = 21,43 m

Итого

d = 19,44 + 21,43 = 40,88 m

Ответ

d = 40,88 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 20,1 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9,81) = 5,097 m

Высота над землёй

h_max = 15 + 5,097 = 20,1 m

Ответ

h_max = 20,1 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,055 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 30° − 0,1·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,0866) = 4,055 m/s²

Ответ

a = 4,055 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 5,434 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 30° + 0,3·cos 30°) = 7,454 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 9²/(2·7,454) = 5,434 m

Ответ

d = 5,434 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 8,755 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 55° = 9,177 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 55° = 13,11 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 13,11²/(2·9,81) = 8,755 m

Ответ

H = 8,755 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 64,3 °

Разложите начальную скорость

v_x = 19·cos 30° = 16,45 m/s

v_y0 = 19·sin 30° = 9,5 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(9,5² + 2·9,81·55) = 34,2 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 34,2/16,45 → α = 64,3°

Ответ

α = 64,3°

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 26,2 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·140) = 26,2 m/s

Ответ

v_max = 26,2 m/s (94,34 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 41,2 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 9,5² − 4·9,81·1 = 51,01 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1·51,01/1 − 1·9,81 = 41,2 N

Ответ

T_top = 41,2 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 31,56 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 19,62·0,766 = 15,03 N

F = μN = 0,15·15,03 = 2,254 N

Работа против трения

W_f = F·d = 2,254·14 = 31,56 J

Ответ

W_f = 31,56 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,646 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(2 − 0,15·2,5) = 79,71 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,625) = 5,646 m/s

Ответ

v = 5,646 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −0,6154 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3 − 3,5)/(3 + 3,5)·8 = −0,6154 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 3,5)·8 = 7,385 m/s

Ответ

v′₁ = −0,6154 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 26,37 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,7·9,81·10) = 11,72 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3600·11,72/1600 = 26,37 m/s

Ответ

v₁ = 26,37 m/s

(94,93 km/h)

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: a_tip = 14,71 m/s²

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Моменты относительно шарнира

В момент освобождения ω = 0, поэтому центростремительного ускорения нет, и центр ускоряется строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·0,5) = 29,43 rad/s²

Ускорение свободного конца

a_tip = α·L = 29,43·0,5 = 14,71 m/s²

Ответ

a_tip = 14,71 m/s²

a_tip = 1,5·g при любой длине: свободный конец падает быстрее брошенного камня.

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: t = 2,502 s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Уравнения движения

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

Ускорение

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 20°/1,4 = 2,397 m/s²

Время

s = ½·a·t² → t = √(2·7,5/2,397) = 2,502 s

Ответ

t = 2,502 s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₂ = 14,37 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/303,7 = 9,879 N·m

Выходной крутящий момент

T₂ = 9,879·30/20·0,97 = 14,37 N·m

Ответ

T₂ = 14,37 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N_D = 80

Частота вращения промежуточного вала

n_B = n_C = 2880·32/36 = 2560 rpm

Число зубьев колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 24·2560/768 = 80

Ответ

N_D = 80

17.Пружины и маятники

Ответ: T = 3,042 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,3/9,81) = 3,042 s

Ответ

T = 3,042 s

18.Пружины и маятники

Ответ: A = 42,24 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,015·350/0,515 = 10,19 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(300/0,515) = 24,14 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 10,19/24,14 = 0,4224 m = 42,24 cm

Ответ

A = 42,24 cm

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 27,57 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(200000/5) = 200 rad/s

f_n = 200/(2π) = 31,83 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 31,83·√(1 − 0,5²) = 27,57 Hz

Ответ

f_d = 27,57 Hz

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 12 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/30 → k_eq = 20·30/(20 + 30) = 12 kN/m

Ответ

k_eq = 12 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics