Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.
Автомобиль, едущий со скоростью 45 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.
Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 36 m/s², направленное вверх, в течение 1,5 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту hmax, которой достигает ракета.
Ящик массой 5 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.
Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 90 N тянет передний брусок массой 1 kg; брусок массой 9 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.
Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 36 m/s, и он должен упасть на расстоянии 125 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.
Мяч бросают со скоростью 32 m/s под углом 40° к горизонту с вершины обрыва высотой 50 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.
Маленький шарик на нити длиной 0,3 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 25° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.
Шарик массой 1,8 kg на нити длиной 1,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.
Брусок массой 1 kg скользит 18 m по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,35. Найдите работу Wf против силы трения.
Брусок массой 3 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,25). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 6 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 3 m.
Пуля массой 8 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 4 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 11 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.
Пуля массой 12 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 1,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 2 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 35° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.
Маховик с моментом инерции 32 kg·m² вращается с частотой 300 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 195 N·m. За какое время t он остановится?
полый шар начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 20° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Его радиус равен 0,1 m. Найдите его угловую скорость ω после того, как он прокатился 3 m вдоль склона.
Двигатель мощностью 4 kW с частотой вращения 1440 rpm приводит шестерню с числом зубьев 25, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 30. КПД зубчатой пары — 96 %. Найдите выходной крутящий момент T2 на валу колеса.
Открытый ремень соединяет ведущий шкив 120 mm с частотой 1440 rpm со шкивом 400 mm; расстояние между центрами 500 mm. Коэффициент трения равен 0,35, а натяжение ведущей ветви не должно превышать 600 N. Найдите наибольшую мощность P, которую ремень может передать без проскальзывания, в kW (центробежными эффектами пренебрегите).
Груз массой 0,2 kg на пружине с k = 280 N/m оттягивают на 12 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 0,5 s (со знаком).
Груз массой 2 kg на пружине с k = 350 N/m оттягивают на 17 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение amax.
Груз массой 20 kg на пружине жёсткостью 25 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,35. Найдите частоту fd его свободных затухающих колебаний в Hz.
Груз массой 40 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 40 kN/m, у нижней k₂ = 60 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость keq системы пружин в kN/m.
Ответ: s = 13,02 m
Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.
Ответ: hmax = 189,1 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
В наивысшей точке скорость равна нулю.
Ответ: F = 41,52 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Постоянная скорость: силы уравновешены.
Ответ: T = 81 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Ответ: θ = 35,56 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Второе решение: 90° − θ = 54,44°.
Ответ: H = 71,56 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Ответ: v = 0,7616 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).
Ответ: T = 47,66 N
Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.
К центру (вверх) — положительное направление.
Ответ: Wf = 47,34 J
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).
Ответ: v = 5,86 m/s
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).
Ответ: v = 736 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Ответ: v = 335,7 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Ответ: t = 5,155 s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Ответ: ω = 34,75 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.
Ответ: T2 = 30,56 N·m
Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.
Ответ: P = 3,224 kW
Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = eμθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.
Ответ: x = 11,88 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Ответ: amax = 29,75 m/s²
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Ответ: fd = 5,271 Hz
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Ответ: keq = 24 kN/m
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics