Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 72 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 72 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 1,5 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 1,5 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 5 kg и 4 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a грузов.

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 120 N тянет передний брусок массой 8 kg; брусок массой 4 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 4 kgm₂ = 8 kgF = 120 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 14 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 13 m/s под углом 30° к горизонту с вершины обрыва высотой 35 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v, с которой он ударяется о землю.

v₀ = 13 m/sθ = 30°h = 35 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 3 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую угловую скорость ω в rad/s.

r = 3 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Движение по окружностиСложная

Небольшую тележку отпускают без начальной скорости на трассе без трения, и она въезжает в вертикальную петлю радиусом 7 m. С какой наименьшей высоты h_min над нижней точкой петли она должна стартовать, чтобы удержаться на трассе в верхней точке петли?

R = 7 mv₀ = 0

h_min = m

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 2000 N/m. На неё кладут мяч массой 0,15 kg, сжимают пружину на 3 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,15 kgk = 2000 N/mx = 3 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3,5 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 1500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 1 kgh = 2 mL = 3,5 mμ = 0,2k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 12 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 16 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 19 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,5 kgv_in = 16 m/sv_out = 19 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 3,5 kg и длиной 1,2 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. К его свободному концу прикреплён маленький шарик массой 3 kg. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите угловую скорость ω стержня при прохождении вертикального положения.

m = 3,5 kgL = 1,2 mm_ball = 3 kgg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной цилиндр массой 12 kg катится без проскальзывания со скоростью 3 m/s. Найдите его кинетическую энергию вращения E_rot.

m = 12 kgv = 3 m/sI = ½·m·r²

E_rot = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Ремень идёт по ведущему шкиву 160 mm с частотой 1440 rpm. Натяжение равно 400 N на ведущей ветви и 200 N на ведомой. Найдите передаваемую мощность P в kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 400 NT₂ = 200 N

P = kW

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (24 зуб.) на входном валу вращается с частотой 1500 rpm и приводит колесо B (50 зуб.). Колесо C (15 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (80 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 1500 rpmA = 24B = 50C = 15D = 80

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,5 m имеет период малых колебаний 3,49 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 0,5 mT = 3,49 s

g = m/s²

18.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 370 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 4 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

k = 370 N/mA = 4 cmx = 1 cm

U = J

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 5 kg опирается на пружину жёсткостью 100 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 70 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 5 kgk = 100 kN/mc = 70 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 5 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 50 kN/m и k₂ = 20 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 28,57 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·7) = 28,57 m

Ответ

s = 28,57 m

2.Кинематика

Ответ: d = 10,59 m

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(1,5 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 514,5 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·514,5))/(2·4,905) = 1,469 s

Глубина

d = ½·9,81·1,469² = 10,59 m

Ответ

d = 10,59 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,09 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (5 − 4)·9,81/(5 + 4) = 1,09 m/s²

Ответ

a = 1,09 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 40 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (120 − 29,43)/12 = 7,547 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 4·(7,547 + 2,453) = 40 N

Ответ

T = 40 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 18,77 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 55° = 8,03 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 55° = 11,47 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·11,47/9,81 = 2,338 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 8,03·2,338 = 18,77 m

Ответ

x = 18,77 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v = 29,25 m/s

Разложите начальную скорость

v_x = 13·cos 30° = 11,26 m/s

v_y0 = 13·sin 30° = 6,5 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(6,5² + 2·9,81·35) = 27 m/s

Скорость при ударе

v = √(11,26² + 27²) = 29,25 m/s

Ответ

v = 29,25 m/s

Проверка по энергии: v² = v₀² + 2gh.

7.Движение по окружности

Ответ: ω = 2,859 rad/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,4·3)) = 2,859 rad/s

Ответ

ω = 2,859 rad/s

8.Движение по окружности

Ответ: h_min = 17,5 m

Условие в верхней точке

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон сохранения энергии

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·7 = 17,5 m

Ответ

h_min = 17,5 m

9.Работа и энергия

Ответ: h = 0,6116 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 3 cm = 0,03 m

½kx² = ½·2000·0,03² = 0,9 J

Высота

m·g = 0,15·9,81 = 1,472 N

h = ½kx²/(mg) = 0,9/1,472 = 0,6116 m

Ответ

h = 0,6116 m

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,05 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(2 − 0,2·3,5) = 12,75 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,3) = 5,05 m/s

Ответ

v = 5,05 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −3,429 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 4,5)/(2,5 + 4,5)·12 = −3,429 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 4,5)·12 = 8,571 m/s

Ответ

v′₁ = −3,429 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 350 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(19 + 16) = 17,5 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 17,5/0,05 = 350 N

Ответ

F_avg = 350 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 4,317 rad/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 3,5·9,81·0,6 + 3·9,81·1,2 = 55,92 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 1,68 + 4,32 = 6 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 55,92 → ω = √(2·55,92/6) = 4,317 rad/s

Ответ

ω = 4,317 rad/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: E_rot = 27 J

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·12·3² = 54 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,5·m·r²·(v/r)² = 0,5·54 = 27 J

Ответ

E_rot = 27 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: P = 2,413 kW

Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = e^μθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.

Скорость ремня

v = 12,06 m/s

Мощность

P = (400 − 200)·12,06 = 2413 W = 2,413 kW

Ответ

P = 2,413 kW

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 135 rpm

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Первая ступень

n_B = 1500·24/50 = 720 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 720·15/80 = 135 rpm

Ответ

n_out = 135 rpm

общее передаточное отношение = 11,11 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: g = 1,621 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,5/3,49² = 1,621 m/s²

Ответ

g = 1,621 m/s²

18.Пружины и маятники

Ответ: U = 0,0185 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·370·0,04² = 0,296 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·370·0,01² = 0,0185 J

Ответ

U = 0,0185 J

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,0495

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·5) = 1414 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 70/1414 = 0,0495

Ответ

ζ = 0,0495

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 70 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 20 = 70 kN/m

Ответ

k_eq = 70 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics