Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 108 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 108 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 6 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 6 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 17 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 17 kgθ = 25°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 1 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 1 kgm₂ = 1 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 28 m/s, и он должен упасть на расстоянии 55 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 28 m/sR = 55 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 32 m/s под углом 35° к горизонту с вершины обрыва высотой 50 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 32 m/sθ = 35°h = 50 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 120 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 120 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,6 kg на лёгкой нити длиной 0,6 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 6 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,6 kgr = 0,6 mv_bottom = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 3 m вдоль плоскости.

θ = 40°μ = 0,2d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 2000 N/m у основания наклонной плоскости 40° сжимают на 12 cm бруском массой 3 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 3 kgk = 2000 N/mx = 12 cmθ = 40°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 1 kg, движущаяся со скоростью 7 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 0,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 1 kgm₂ = 0,5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1200 kg, едущий на восток со скоростью 25 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1500 kg, едущим на север со скоростью 13 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 1200 kgv₁ = 25 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 13 m/s (N)

θ = °

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Маховик с моментом инерции 39,5 kg·m² вращается с частотой 500 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 30 N·m. Сколько оборотов N сделает маховик до остановки?

I = 39,5 kg·m²n = 500 rpmT_b = 30 N·m

N = rev

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 35° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его скорость v после того, как он прокатился 3 m вдоль склона.

θ = 35°s = 3 mI = m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Два параллельных вала расположены на расстоянии 120 mm. Их нужно соединить парой прямозубых колёс с модулем 4 mm и передаточным отношением 3 : 1 (понижающая передача). Сколько зубьев N₁ должна иметь шестерня?

a = 120 mmm = 4 mmi = 3

N₁ =

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 1,1 kW с частотой 2900 rpm приводит колесо A (18 зубьев), которое зацепляется с колесом B (20 зубьев). Колесо C (48 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (50 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 97%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 1,1 kWn_in = 2900 rpmA = 18B = 20C = 48D = 50η_mesh = 97%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,1 kg на пружине с k = 350 N/m оттягивают на 11 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 0,65 s (со знаком).

m = 3,1 kgk = 350 N/mA = 11 cmt = 0,65 s

x = cm

18.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 3,6 s и амплитудой 14 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 14 cm в точку со смещением 11,2 cm?

T = 3,6 sA = 14 cmx = 11,2 cm

t = s

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 15 mm через один цикл следует пик 11 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 15 mmx₁ = 11 mmn = 1

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 40 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 100 kN/m и k₂ = 20 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 75 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·6) = 75 m

Ответ

s = 75 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 41,83 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9,81) = 1,835 m

Высота над землёй

h_max = 40 + 1,835 = 41,83 m

Ответ

h_max = 41,83 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,146 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0) = 4,146 m/s²

Ответ

a = 4,146 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,679 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9,81 − 2,453)/2 = 3,679 m/s²

Ответ

a = 3,679 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 21,74 °

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·55/28² = 0,6882

Угол

2θ = 43,49° → θ = 21,74°

Ответ

θ = 21,74°

Второе решение: 90° − θ = 68,26°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 67,17 m

Вертикальная начальная скорость

v_y = 32·sin 35° = 18,35 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 18,35²/(2·9,81) = 17,17 m

Высота над землёй

H = 50 + 17,17 = 67,17 m

Ответ

H = 67,17 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 24,26 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·120) = 24,26 m/s

Ответ

v_max = 24,26 m/s (87,34 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 17,52 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 6² − 4·9,81·0,6 = 12,46 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,6·12,46/0,6 − 1,6·9,81 = 17,52 N

Ответ

T_top = 17,52 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 5,368 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·3·(0,6428 − 0,2·0,766)) = 5,368 m/s

Ответ

v = 5,368 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: d = 0,6802 m

Энергия пружины

x = 12 cm = 0,12 m

½kx² = ½·2000·0,12² = 14,4 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 3·9,81 = 29,43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 14,4/(29,43·(0,6428 + 0,1·0,766)) = 0,6802 m

Ответ

d = 0,6802 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 2,333 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (1 − 0,5)/(1 + 0,5)·7 = 2,333 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 0,5)·7 = 9,333 m/s

Ответ

v′₁ = 2,333 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 33,02 °

Составляющие импульса

p_x = 1200·25 = 30000 kg·m/s

p_y = 1500·13 = 19500 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 0,65 → θ = 33,02°

Ответ

θ = 33,02°

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: N = 287,3 rev

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

Работа тормоза равна кинетической энергии

½·I·ω² = ½·39,5·52,36² = 54146 J

θ = 54146/30 = 1805 rad

Обороты

N = θ/2π = 287,3 rev

Ответ

N = 287,3 rev

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 4,109 m/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Высота спуска

h = s·sin θ = 3·sin 35° = 1,721 m

Энергетический баланс при качении

Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9,81·1,721/2) = 4,109 m/s

Ответ

v = 4,109 m/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N₁ = 15

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Суммарное число зубьев

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·120/4 = 60

Делим по передаточному отношению

N₁ = 60/(1 + 3) = 15

Ответ

N₁ = 15

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 3,945 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Скорость на выходе

n_out = 2900·(18/20)·(48/50) = 2506 rpm

ω_out = 2π·2506/60 = 262,4 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 1100·0,97² = 1035 W

T_out = P_out/ω_out = 1035/262,4 = 3,945 N·m

Ответ

T_out = 3,945 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: x = 8,931 cm

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(350/3,1) = 10,63 rad/s

ω·t = 10,63·0,65 = 6,907 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 11·cos(6,907) = 8,931 cm

Ответ

x = 8,931 cm

18.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,3687 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/3,6 = 1,745 rad/s

Выразите время

0,8 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,8) = 0,6435 rad

t = 0,6435/1,745 = 0,3687 s

Ответ

t = 0,3687 s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,0493

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/1)·ln(15/11) = 0,3102

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3102/√(39,48 + 0,0962) = 0,0493

Ответ

ζ = 0,0493

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 8,717 Hz

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 20 = 120 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(120000/40) = 54,77 rad/s

f_n = 54,77/(2π) = 8,717 Hz

Ответ

f_n = 8,717 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics