Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.
Автомобиль, едущий со скоростью 72 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.
Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 17 m/s с края крыши на высоте 25 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту hmax над землёй.
Ящик массой 15 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.
Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 35° со скоростью 11,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?
Мяч бросают под углом 40° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.
Мяч бросают под углом 35° к горизонту с вершины скалы высотой 20 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.
Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 35 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость vmax, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.
Шарик массой 1,8 kg на лёгкой нити длиной 1,2 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 9,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения Ttop нити в верхней точке.
Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,4. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 12 m вдоль плоскости.
Тележку массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 7 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 2,5 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.
Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 2,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 20 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.
Пуля массой 8 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 2,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 0,6 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 25° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.
Вал передаёт 28,5 kW при 700 rpm. Найдите крутящий момент T в валу.
Однородный сплошной диск (масса 14 kg, радиус 0,1 m) свободно вращается с частотой 250 rpm на вертикальном валу без трения. На него без начальной скорости опускается тонкое кольцо массой 9 kg того же радиуса, центрированное на валу, и оба тела быстро начинают вращаться вместе. Сколько кинетической энергии ΔE теряется в этом процессе?
Шкив 125 mm с частотой 960 rpm приводит ремнём шкив 300 mm при проскальзывании 2 %. Найдите частоту вращения n2 ведомого шкива.
В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 20 зубьев, а каждый сателлит — 15 зубьев. Коронное колесо закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 1800 rpm. Найдите частоту вращения nc водила.
Груз массой 3,2 kg на пружине с k = 120 N/m оттягивают на 11 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 1,25 s (со знаком).
Пуля массой 20 g, летящая со скоростью 500 m/s, попадает в брусок массой 3,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1200 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.
Груз массой 50 kg опирается на пружину жёсткостью 20 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 400 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.
Груз массой 20 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 60 kN/m и k₂ = 50 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость keq системы пружин в kN/m.
Ответ: s = 33,33 m
Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.
Ответ: hmax = 39,73 m
Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.
Ответ: F = 105,4 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Постоянная скорость: силы уравновешены.
Ответ: d = 10,28 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.
Ответ: x = 160,6 m
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
Старт и приземление на одной высоте: t = 2vy/g.
Ответ: x = 34,38 m
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
Решите y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.
Ответ: vmax = 15,5 m/s
Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.
Ответ: Ttop = 47,09 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.
Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.
Ответ: v = 6,013 m/s
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).
Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.
Ответ: v = 6,264 m/s
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.
Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.
Ответ: v = 497,2 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Ответ: v = 329,2 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Ответ: T = 388,8 N·m
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Ответ: ΔE = 13,49 J
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Ответ: n2 = 392 rpm
Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = eμθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.
Ответ: nc = 514,3 rpm
Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.
Положите nr = 0 и найдите частоту вращения водила.
Водило вращается в том же направлении, что и солнечная шестерня.
Ответ: x = 2,178 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Ответ: A = 15,39 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Ответ: ζ = 0,2
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.
Ответ: keq = 110 kN/m
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics