Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 50 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,7 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 4,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 50 km/ht_r = 0,7 sa = −4,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 40 m/s², направленное вверх, в течение 1,5 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 40 m/s²t₁ = 1,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 13 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 13 kgθ = 20°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 1 kgm₂ = 3 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 12 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с вершины скалы высотой 60 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 20 m/sθ = 20°h = 60 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 80 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 80 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,5 kg на лёгкой нити длиной 1,1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 10,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,5 kgr = 1,1 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 0,5 kg висит на лёгкой нити длиной 3 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 45° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 0,5 kgL = 3 mθ = 45°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2,5 kgh = 1 mL = 2,5 mμ = 0,2k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 4 kg, движущийся горизонтально со скоростью 22 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 2 kg продолжает движение вперёд со скоростью 47 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 2 kg (положительна в исходном направлении).

M = 4 kgu = 22 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 47 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 4,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 0,6 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 30° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 4,5 kgL = 0,6 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 5,5 kg и длиной 1,8 m закреплён шарниром на одном конце и удерживается горизонтально. Его отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a_tip свободного конца сразу после освобождения.

m = 5,5 kgL = 1,8 mg = 9,81 m/s²

a_tip = m/s²

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 15° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Оно начинает движение из состояния покоя. За какое время t оно прокатится 8 m вниз по склону?

θ = 15°I = m·r²g = 9,81 m/s²s = 8 m

t = s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 15 kW с частотой вращения 1440 rpm приводит шестерню с числом зубьев 20, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 40. КПД зубчатой пары — 97 %. Найдите выходной крутящий момент T₂ на валу колеса.

P = 15 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 20N₂ = 40η = 97%

T₂ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 16 зубьев, а каждый сателлит — 30 зубьев. Водило закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 1500 rpm. Найдите частоту вращения n_r коронного колеса (по модулю).

N_s = 16N_p = 30n_s = 1500 rpm

n_r = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2,2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 20 g, летящая со скоростью 250 m/s, попадает в брусок массой 1 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 200 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 20 gv = 250 m/sM = 1 kgk = 200 N/m

A = cm

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 8 kg на пружине жёсткостью 5 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,4. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 8 kgk = 5 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 5 kg висит на пружине k₃ = 100 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 15 kN/m и k₂ = 25 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 5 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 31,16 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 13,89·0,7 = 9,722 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·4,5) = 21,43 m

Итого

d = 9,722 + 21,43 = 31,16 m

Ответ

d = 31,16 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 228,5 m

Активный участок

v₁ = 40·1,5 = 60 m/s

h₁ = ½·40·1,5² = 45 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 60²/(2·9,81) = 183,5 m

h_max = 45 + 183,5 = 228,5 m

Ответ

h_max = 228,5 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,355 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0) = 3,355 m/s²

Ответ

a = 3,355 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 6,867 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 1,962)/4 = 6,867 m/s²

Ответ

a = 6,867 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 1,223 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 30° = 10,39 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 30° = 6 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·6/9,81 = 1,223 s

Ответ

t = 1,223 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 80,13 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 20° = 18,79 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 20° = 6,84 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 60 + 6,84·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6,84 + √(46,79 + 1177))/9,81 = 4,264 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 18,79·4,264 = 80,13 m

Ответ

x = 80,13 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 15,34 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·80) = 15,34 m/s

Ответ

v_max = 15,34 m/s (55,24 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 25,59 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·1,1 = 67,09 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,5·67,09/1,1 − 0,5·9,81 = 25,59 N

Ответ

T_top = 25,59 N

9.Работа и энергия

Ответ: T = 7,778 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·3·(1 − cos 45°) = 17,24 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

T = mg + mv²/L = 4,905 + 0,5·17,24/3 = 7,778 N

Ответ

T = 7,778 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 7,778 N.

10.Работа и энергия

Ответ: x = 22,15 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(1 − 0,2·2,5) = 12,26 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 12,26 → x = √(2·12,26/500) = 0,2215 m = 22,15 cm

Ответ

x = 22,15 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 4·22 = 88 kg·m/s

Импульс после удара

88 = 2·47 + 2·v′₂

v′₂ = (88 − 94)/2 = −3 m/s

Ответ

v′₂ = −3 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 283,8 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,6·(1 − cos 30°) = 0,08038 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,08038) = 1,256 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 4,52·1,256/0,02 = 283,8 m/s

Ответ

v = 283,8 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: a_tip = 14,71 m/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Моменты относительно шарнира

В момент освобождения ω = 0, поэтому центростремительного ускорения нет, и центр ускоряется строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1,8) = 8,175 rad/s²

Ускорение свободного конца

a_tip = α·L = 8,175·1,8 = 14,71 m/s²

Ответ

a_tip = 14,71 m/s²

a_tip = 1,5·g при любой длине: свободный конец падает быстрее брошенного камня.

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: t = 3,55 s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Уравнения движения

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

Ускорение

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 15°/2 = 1,27 m/s²

Время

s = ½·a·t² → t = √(2·8/1,27) = 3,55 s

Ответ

t = 3,55 s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₂ = 193 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/150,8 = 99,47 N·m

Выходной крутящий момент

T₂ = 99,47·40/20·0,97 = 193 N·m

Ответ

T₂ = 193 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_r = 315,8 rpm

Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.

Число зубьев коронного колеса

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·30 = 76

Формула Виллиса при неподвижном водиле

При n_c = 0 солнечная шестерня приводит коронное колесо через сателлиты, которые работают как паразитные колёса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1500·16/76 = −315,8 rpm

|n_r| = 315,8 rpm

Ответ

n_r = 315,8 rpm

Коронное колесо вращается в направлении, противоположном солнечной шестерне.

17.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,975 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,2/9,81) = 2,975 s

Ответ

T = 2,975 s

18.Пружины и маятники

Ответ: A = 35,01 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,02·250/1,02 = 4,902 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(200/1,02) = 14 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 4,902/14 = 0,3501 m = 35,01 cm

Ответ

A = 35,01 cm

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 3,647 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(5000/8) = 25 rad/s

f_n = 25/(2π) = 3,979 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,979·√(1 − 0,4²) = 3,647 Hz

Ответ

f_d = 3,647 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 12,03 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 15 + 25 = 40 kN/m

k_eq = 40·100/(40 + 100) = 28,57 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(28571/5) = 75,59 rad/s

f_n = 75,59/(2π) = 12,03 Hz

Ответ

f_n = 12,03 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics