Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,75 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 1800 m.

v₀ = 0a = 3,75 m/s²s = 1800 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 16 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 16 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 40 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 35° к горизонту с силой 100 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 40 kgF = 100 Nθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4 kg на наклонной плоскости под углом 25° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 9,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 4 kgm₂ = 9,5 kgθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 16 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с вершины скалы высотой 55 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 20 m/sθ = 55°h = 55 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 1000 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 13 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 55 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 1000 kgv = 13 m/sr = 55 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 270 m имеет вираж с уклоном 30°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 270 mθ = 30°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 12 m вдоль плоскости.

θ = 45°μ = 0,25d = 12 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 500 N/m у основания наклонной плоскости 25° сжимают на 12 cm бруском массой 2 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 2 kgk = 500 N/mx = 12 cmθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 1,5 kg, движущаяся со скоростью 6 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 1,5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 3,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 0,8 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 25° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 3,5 kgL = 0,8 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Вал передаёт 177 kW при 2200 rpm. Найдите крутящий момент T в валу.

P = 177 kWn = 2200 rpm

T = N·m

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный тонкий стержень массой 1,5 kg и длиной 1 m неподвижно висит на шарнире без трения в своём верхнем конце. Пуля массой 25 g, летящая горизонтально со скоростью 160 m/s, попадает в стержень на 0,65 m ниже шарнира и застревает в нём. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольший угол φ отклонения стержня от вертикали.

M = 1,5 kgL = 1 mm = 25 gv = 160 m/sd = 0,65 mg = 9,81 m/s²

φ = °

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 5,5 kW с частотой вращения 2900 rpm приводит шестерню с числом зубьев 20, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 32. Потерями пренебречь. Найдите крутящий момент T₁ на валу двигателя.

P = 5,5 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 20N₂ = 32η = 100%

T₁ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (18 зубьев) на входном валу вращается с частотой 1440 rpm и приводит колесо B (24 зубьев). Колесо C (18 зубьев) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D на выходном валу. Выходной вал должен вращаться с частотой 324 rpm. Сколько зубьев N_D должно иметь колесо D?

n_in = 1440 rpmA = 18B = 24C = 18n_out = 324 rpm

N_D =

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2,6 kg на пружине с k = 250 N/m оттягивают на 9 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 0,6 s (со знаком).

m = 2,6 kgk = 250 N/mA = 9 cmt = 0,6 s

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 8 g, летящая со скоростью 400 m/s, попадает в брусок массой 0,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 2000 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 8 gv = 400 m/sM = 0,5 kgk = 2000 N/m

A = cm

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 10 kg опирается на пружину жёсткостью 40 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 250 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 10 kgk = 40 kN/mc = 250 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 5 kg висит на пружине k₃ = 60 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 30 kN/m и k₂ = 100 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 116,2 m/s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·3,75·1800) = 116,2 m/s

Ответ

v = 116,2 m/s

(418,3 km/h)

2.Кинематика

Ответ: h_max = 33,05 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 16²/(2·9,81) = 13,05 m

Высота над землёй

h_max = 20 + 13,05 = 33,05 m

Ответ

h_max = 33,05 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,21 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 392,4 − 100·sin 35° = 335 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 81,92 − 33,5

a = 48,41/40 = 1,21 m/s²

Ответ

a = 1,21 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,411 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 93,2 N

m₁·g·sin θ = 16,58 N

μ·m₁·g·cos θ = 3,556 N

Ускорение системы

a = (93,2 − 16,58 − 3,556)/13,5 = 5,411 m/s²

Ответ

a = 5,411 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 26,1 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 45° = 11,31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 45° = 11,31 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·11,31/9,81 = 2,307 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 11,31·2,307 = 26,1 m

Ответ

x = 26,1 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 62,08 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 55° = 11,47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 55° = 16,38 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 55 + 16,38·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16,38 + √(268,4 + 1079))/9,81 = 5,412 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 11,47·5,412 = 62,08 m

Ответ

x = 62,08 m

7.Движение по окружности

Ответ: N = 6737 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 1000·9,81 − 1000·13²/55 = 9810 − 3073 = 6737 N

Ответ

N = 6737 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 43,64 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(270·9,81·0,5866/0,816) = 43,64 m/s

Ответ

v_max = 43,64 m/s

(157,1 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: v = 11,17 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·12·(0,7071 − 0,25·0,7071)) = 11,17 m/s

Ответ

v = 11,17 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: d = 0,3575 m

Энергия пружины

x = 12 cm = 0,12 m

½kx² = ½·500·0,12² = 3,6 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 3,6/(19,62·(0,4226 + 0,1·0,9063)) = 0,3575 m

Ответ

d = 0,3575 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −3 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (1,5 − 4,5)/(1,5 + 4,5)·6 = −3 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 4,5)·6 = 3 m/s

Ответ

v′₁ = −3 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 425,7 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,8·(1 − cos 25°) = 0,07495 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,07495) = 1,213 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 3,51·1,213/0,01 = 425,7 m/s

Ответ

v = 425,7 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: T = 768,3 N·m

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·2200/60 = 230,4 rad/s

Крутящий момент

T = P/ω = 177000/230,4 = 768,3 N·m

Ответ

T = 768,3 N·m

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: φ = 83,15 °

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Момент инерции после удара

I = M·L²/3 + m·d² = 1,5·1²/3 + 0,025·0,65² = 0,5106 kg·m²

Момент импульса относительно шарнира

Сила в шарнире проходит через шарнир, поэтому во время удара её момент относительно него равен нулю.

m·v·d = I·ω → ω = 0,025·160·0,65/0,5106 = 5,092 rad/s

Энергия при качании

½·I·ω² = ½·0,5106·5,092² = 6,62 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 7,517·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 6,62/7,517 = 0,1193 → φ = 83,15°

Ответ

φ = 83,15°

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₁ = 18,11 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/303,7 = 18,11 N·m

Ответ

T₁ = 18,11 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N_D = 60

Частота вращения промежуточного вала

n_B = n_C = 1440·18/24 = 1080 rpm

Число зубьев колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 18·1080/324 = 60

Ответ

N_D = 60

17.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,3434 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(250/2,6) = 9,806 rad/s

ω·t = 9,806·0,6 = 5,883 rad

Скорость

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,09·9,806·sin(5,883) = 0,3434 m/s

Ответ

v = 0,3434 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: A = 10,04 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,008·400/0,508 = 6,299 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(2000/0,508) = 62,75 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 6,299/62,75 = 0,1004 m = 10,04 cm

Ответ

A = 10,04 cm

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,1976

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·10) = 1265 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 250/1265 = 0,1976

Ответ

ζ = 0,1976

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 14,42 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 30 + 100 = 130 kN/m

k_eq = 130·60/(130 + 60) = 41,05 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(41053/5) = 90,61 rad/s

f_n = 90,61/(2π) = 14,42 Hz

Ответ

f_n = 14,42 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics