Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 60 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 60 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 19 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 19 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 7 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 7 kgθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 40 m/s, и он должен упасть на расстоянии 95 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 40 m/sR = 95 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с вершины скалы высотой 55 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 27 m/sθ = 30°h = 55 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 75 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 75 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,9 kg на нити длиной 1,2 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 3 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,9 kgr = 1,2 mv = 3 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 0,5 kg скользит 6 m по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,2. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 0,5 kgθ = 20°μ = 0,2d = 6 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3,5 m (μ = 0,25), а затем наезжает на пружину (k = 1500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2 kgh = 2,5 mL = 3,5 mμ = 0,25k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 8 kg, движущийся горизонтально со скоростью 14 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 6 kg продолжает движение вперёд со скоростью 70 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 2 kg (положительна в исходном направлении).

M = 8 kgu = 14 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 70 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 900 kg, едущий на восток со скоростью 23 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1800 kg, едущим на север со скоростью 9 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 900 kgv₁ = 23 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 9 m/s (N)

v′ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Двигатель разгоняет маховик с моментом инерции 20 kg·m² из состояния покоя до 1700 rpm за 12 s. Пренебрегая потерями, найдите среднюю мощность P_avg, которую он развивает, в kW.

I = 20 kg·m²n = 1700 rpmt = 12 s

P_avg = kW

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 15° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Его радиус равен 0,15 m. Найдите его угловую скорость ω после того, как он прокатился 7,5 m вдоль склона.

θ = 15°s = 7,5 mI = m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,15 m

ω = rad/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 2,2 kW с частотой 1440 rpm приводит червяк с числом заходов 1. Червячное колесо имеет 48 зубьев, КПД передачи 50%. Найдите выходной вращающий момент T_w на валу колеса.

z = 1N_w = 48n = 1440 rpmP = 2,2 kWη = 50%

T_w = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 30 зубьев, а каждый сателлит — 30 зубьев. Коронное колесо закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 600 rpm. Найдите частоту вращения n_c водила.

N_s = 30N_p = 30n_s = 600 rpm

n_c = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,7 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,7 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 3,9 s и амплитудой 5 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 5 cm в точку со смещением 2,5 cm?

T = 3,9 sA = 5 cmx = 2,5 cm

t = s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 80 kg опирается на пружину жёсткостью 150 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 2080 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 80 kgk = 150 kN/mc = 2080 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 40 kg висит на пружине k₃ = 80 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 50 kN/m и k₂ = 80 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 40 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 2,778 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16,67/6 = 2,778 s

Ответ

t = 2,778 s

2.Кинематика

Ответ: t = 4,735 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−20 = 19·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 19·t − 20 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (19 + √(19² + 2·9,81·20))/9,81 = 4,735 s

Ответ

t = 4,735 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,823 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0,1·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,08192) = 4,823 m/s²

Ответ

a = 4,823 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,028 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 4,414)/4 = 5,028 m/s²

Ответ

a = 5,028 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 17,81 °

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·95/40² = 0,5825

Угол

2θ = 35,62° → θ = 17,81°

Ответ

θ = 17,81°

Второе решение: 90° − θ = 72,19°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,996 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 30° = 23,38 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 30° = 13,5 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 55 + 13,5·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13,5 + √(182,2 + 1079))/9,81 = 4,996 s

Ответ

t = 4,996 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 14,86 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·75) = 14,86 m/s

Ответ

v_max = 14,86 m/s (53,48 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 15,58 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,9·9,81 + 0,9·3²/1,2 = 8,829 + 6,75 = 15,58 N

Ответ

T = 15,58 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 5,531 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 4,905·0,9397 = 4,609 N

F = μN = 0,2·4,609 = 0,9218 N

Работа против трения

W_f = F·d = 0,9218·6 = 5,531 J

Ответ

W_f = 5,531 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 20,62 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 19,62·(2,5 − 0,25·3,5) = 31,88 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 31,88 → x = √(2·31,88/1500) = 0,2062 m = 20,62 cm

Ответ

x = 20,62 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −154 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Импульс до удара

p = M·u = 8·14 = 112 kg·m/s

Импульс после удара

112 = 6·70 + 2·v′₂

v′₂ = (112 − 420)/2 = −154 m/s

Ответ

v′₂ = −154 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 9,735 m/s

Составляющие импульса

p_x = 900·23 = 20700 kg·m/s

p_y = 1800·9 = 16200 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 26286/2700 = 9,735 m/s

Ответ

v′ = 9,735 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: P_avg = 26,41 kW

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1700/60 = 178 rad/s

Энергия

E = ½·I·ω² = ½·20·178² = 316924 J

Средняя мощность

P_avg = E/t = 316924/12 = 26410 W = 26,41 kW

Ответ

P_avg = 26,41 kW

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 29,09 rad/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Высота спуска

h = s·sin θ = 7,5·sin 15° = 1,941 m

Энергетический баланс при качении

Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9,81·1,941/2) = 4,364 m/s

ω = v/r = 4,364/0,15 = 29,09 rad/s

Ответ

ω = 29,09 rad/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_w = 350,1 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения колеса

n_w = n·z/N_w = 1440·1/48 = 30 rpm

Выходной крутящий момент

ω_w = 2π·30/60 = 3,142 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,5·2200/3,142 = 350,1 N·m

Ответ

T_w = 350,1 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_c = 150 rpm

Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.

Число зубьев коронного колеса

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·30 = 90

Формула Виллиса при неподвижном коронном колесе

Положите n_r = 0 и найдите частоту вращения водила.

(600 − n_c)/(0 − n_c) = −90/30

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 600·30/120 = 150 rpm

Ответ

n_c = 150 rpm

Водило вращается в том же направлении, что и солнечная шестерня.

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 1,811 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,7/2π)² = 1,811 m

Ответ

L = 1,811 m

18.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,65 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/3,9 = 1,611 rad/s

Выразите время

0,5 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,5) = 1,047 rad

t = 1,047/1,611 = 0,65 s

Ответ

t = 0,65 s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,3002

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·80) = 6928 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 2080/6928 = 0,3002

Ответ

ζ = 0,3002

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 5,6 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 50 + 80 = 130 kN/m

k_eq = 130·80/(130 + 80) = 49,52 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(49524/40) = 35,19 rad/s

f_n = 35,19/(2π) = 5,6 Hz

Ответ

f_n = 5,6 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics