Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 80 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 80 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 26 m/s², направленное вверх, в течение 1,5 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 26 m/s²t₁ = 1,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 7 kg и 0,5 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a грузов.

m₁ = 7 kgm₂ = 0,5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 130 N тянет передний брусок массой 1 kg; брусок массой 5 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgF = 130 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 38 m/s, и он должен упасть на расстоянии 80 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 38 m/sR = 80 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 39 m/s под углом 45° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 3 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 39 m/sθ = 45°h_roof = 3 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 115 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 115 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,6 kg на лёгкой нити длиной 1,2 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 9 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,6 kgr = 1,2 mv_bottom = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 5 kg висит на лёгкой нити длиной 0,5 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 50° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 5 kgL = 0,5 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 12 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 3 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 0,5 kgh = 12 mR = 3 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 2000 kg, движущийся со скоростью 10 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1300 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 2000 kgv₁ = 10 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,35 kg ударяется о стену со скоростью 8 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 10 m/s. Контакт длится 5 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,35 kgv_in = 8 m/sv_out = 10 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Маховик с моментом инерции 5,5 kg·m² вращается с частотой 1800 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 125 N·m. За какое время t он остановится?

I = 5,5 kg·m²n = 1800 rpmT_b = 125 N·m

t = s

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный тонкий стержень массой 1 kg и длиной 0,5 m неподвижно висит на шарнире без трения в своём верхнем конце. Пуля массой 10 g, летящая горизонтально со скоростью 160 m/s, попадает в стержень на 0,2 m ниже шарнира и застревает в нём. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольший угол φ отклонения стержня от вертикали.

M = 1 kgL = 0,5 mm = 10 gv = 160 m/sd = 0,2 mg = 9,81 m/s²

φ = °

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Червяк с числом заходов 4 вращается с частотой 1450 rpm и приводит червячное колесо с 60 зубьями. Найдите частоту вращения n_w колеса.

z = 4N_w = 60n = 1450 rpm

n_w = rpm

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (50 зуб.) на входном валу вращается с частотой 2900 rpm и приводит колесо B (60 зуб.). Колесо C (12 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (80 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 2900 rpmA = 50B = 60C = 12D = 80

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2,3 kg на пружине с k = 190 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 6 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 3 cm от положения равновесия.

m = 2,3 kgk = 190 N/mA = 6 cmx = 3 cm

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,4 kg на пружине с k = 230 N/m оттягивают на 2 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 2,4 kgk = 230 N/mA = 2 cm

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 20 kg опирается на пружину жёсткостью 100 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 710 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 20 kgk = 100 kN/mc = 710 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 10 kg висит на пружине k₃ = 100 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 12 kN/m и k₂ = 40 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 10 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 41,15 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·6) = 41,15 m

Ответ

s = 41,15 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 106,8 m

Активный участок

v₁ = 26·1,5 = 39 m/s

h₁ = ½·26·1,5² = 29,25 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 39²/(2·9,81) = 77,52 m

h_max = 29,25 + 77,52 = 106,8 m

Ответ

h_max = 106,8 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 8,502 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (7 − 0,5)·9,81/(7 + 0,5) = 8,502 m/s²

Ответ

a = 8,502 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 108,3 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (130 − 11,77)/6 = 19,7 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(19,7 + 1,962) = 108,3 N

Ответ

T = 108,3 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 16,46 °

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·80/38² = 0,5435

Угол

2θ = 32,92° → θ = 16,46°

Ответ

θ = 16,46°

Второе решение: 90° − θ = 73,54°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 152 m

Разложите начальную скорость

v_x = 27,58 m/s, v_y = 27,58 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

3 = 27,58·t − 4,905·t²

t = (27,58 + √(27,58² − 2·9,81·3))/9,81 = 5,511 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 27,58·5,511 = 152 m

Ответ

x = 152 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 18,4 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·115) = 18,4 m/s

Ответ

v_max = 18,4 m/s (66,23 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 11,07 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 9² − 4·9,81·1,2 = 33,91 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,6·33,91/1,2 − 0,6·9,81 = 11,07 N

Ответ

T_top = 11,07 N

9.Работа и энергия

Ответ: T = 84,09 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,5·(1 − cos 50°) = 3,504 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

T = mg + mv²/L = 49,05 + 5·3,504/0,5 = 84,09 N

Ответ

T = 84,09 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 84,09 N.

10.Работа и энергия

Ответ: N = 14,71 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(12 − 6) = 117,7 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

N = mv²/R − mg = 0,5·117,7/3 − 4,905 = 14,71 N

Ответ

N = 14,71 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 39394 J

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·10/3300 = 6,061 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·2000·10² = 100000 J

K_after = ½·3300·6,061² = 60606 J

Потерянная энергия

ΔK = 100000 − 60606 = 39394 J

Ответ

ΔK = 39394 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 6,3 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,35·(10 + 8) = 6,3 N·s

Ответ

J = 6,3 N·s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: t = 8,294 s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

Замедление и время

α = T_b/I = 125/5,5 = 22,73 rad/s²

t = ω/α = 188,5/22,73 = 8,294 s

Ответ

t = 8,294 s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: φ = 41,18 °

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Момент инерции после удара

I = M·L²/3 + m·d² = 1·0,5²/3 + 0,01·0,2² = 0,08373 kg·m²

Момент импульса относительно шарнира

Сила в шарнире проходит через шарнир, поэтому во время удара её момент относительно него равен нулю.

m·v·d = I·ω → ω = 0,01·160·0,2/0,08373 = 3,822 rad/s

Энергия при качании

½·I·ω² = ½·0,08373·3,822² = 0,6115 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 2,472·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 0,6115/2,472 = 0,7527 → φ = 41,18°

Ответ

φ = 41,18°

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_w = 96,67 rpm

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения колеса

n_w = n·z/N_w = 1450·4/60 = 96,67 rpm

Ответ

n_w = 96,67 rpm

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 362,5 rpm

Первая ступень

n_B = 2900·50/60 = 2417 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 2417·12/80 = 362,5 rpm

Ответ

n_out = 362,5 rpm

общее передаточное отношение = 8 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,4723 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(190/2,3) = 9,089 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 9,089·√(0,06² − 0,03²) = 0,4723 m/s

Ответ

v = 0,4723 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,1958 m/s

Угловая частота

ω = √(230/2,4) = 9,789 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,02·9,789 = 0,1958 m/s

Ответ

v_max = 0,1958 m/s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,251

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·20) = 2828 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 710/2828 = 0,251

Ответ

ζ = 0,251

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 9,309 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 12 + 40 = 52 kN/m

k_eq = 52·100/(52 + 100) = 34,21 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(34211/10) = 58,49 rad/s

f_n = 58,49/(2π) = 9,309 Hz

Ответ

f_n = 9,309 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics