Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 50 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 50 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 38 m/s², направленное вверх, в течение 2 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 38 m/s²t₁ = 2 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 7 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 7 kgθ = 45°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2,5 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 18 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с вершины скалы высотой 40 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 23 m/sθ = 55°h = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 0,9 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 60° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 0,9 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 2 kg на лёгкой нити длиной 0,6 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 11 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 2 kgr = 0,6 mv_bottom = 11 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 16 m по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,35. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 40°μ = 0,35d = 16 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 20 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 25° и тянется вверх по ней постоянной силой 205 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 2 m вверх по плоскости.

m = 20 kgF = 205 Nθ = 25°μ = 0,1d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 800 kg, движущийся со скоростью 22 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1900 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 800 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,15 kg ударяется о стену со скоростью 29 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 19 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,15 kgv_in = 29 m/sv_out = 19 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 2 kg и длиной 2,3 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. К его свободному концу прикреплён маленький шарик массой 4 kg. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v свободного конца при прохождении стержнем вертикального положения.

m = 2 kgL = 2,3 mm_ball = 4 kgg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной шар массой 16 kg катится без проскальзывания со скоростью 1,5 m/s. Найдите его кинетическую энергию вращения E_rot.

m = 16 kgv = 1,5 m/sI = (2/5)·m·r²

E_rot = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 1,5 kW с частотой вращения 2900 rpm приводит шестерню с 25 зубьями и модулем 4 mm. Найдите окружную силу F_t на зубьях шестерни.

P = 1,5 kWn = 2900 rpmN₁ = 25m = 4 mm

F_t = N

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (25 зуб.) на входном валу вращается с частотой 3000 rpm и приводит колесо B (48 зуб.). Колесо C (18 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (20 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 3000 rpmA = 25B = 48C = 18D = 20

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,8 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,7 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 40 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max груза.

m = 0,7 kgk = 40 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 2 kg на пружине жёсткостью 5 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,5. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 2 kgk = 5 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 25 kg висит на пружине k₃ = 60 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 5 kN/m и k₂ = 5 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 25 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 14,84 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·6,5) = 14,84 m

Ответ

s = 14,84 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 370,4 m

Активный участок

v₁ = 38·2 = 76 m/s

h₁ = ½·38·2² = 76 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 76²/(2·9,81) = 294,4 m

h_max = 76 + 294,4 = 370,4 m

Ответ

h_max = 370,4 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,856 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 45° − 0,3·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,2121) = 4,856 m/s²

Ответ

a = 4,856 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,504 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 0)/7 = 3,504 m/s²

Ответ

a = 3,504 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 11,08 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 55° = 10,32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 55° = 14,74 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 14,74²/(2·9,81) = 11,08 m

Ответ

H = 11,08 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 5,362 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 55° = 13,19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 55° = 18,84 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 40 + 18,84·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18,84 + √(355 + 784,8))/9,81 = 5,362 s

Ответ

t = 5,362 s

7.Движение по окружности

Ответ: T = 1,346 s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 0,9·sin 60° = 0,7794 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,7794·9,81·tan 60°) = 3,639 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·0,7794/3,639 = 1,346 s

Ответ

T = 1,346 s

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 305,2 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 11² − 4·9,81·0,6 = 97,46 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 2·97,46/0,6 − 2·9,81 = 305,2 N

Ответ

T_top = 305,2 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 168,3 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,766 = 30,06 N

F = μN = 0,35·30,06 = 10,52 N

Работа против трения

W_f = F·d = 10,52·16 = 168,3 J

Ответ

W_f = 168,3 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 4,567 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 20·9,81 = 196,2 N

mg·sin θ = 82,92 N

μ·mg·cos θ = 17,78 N

Работа и энергия

½mv² = (205 − 100,7)·2 = 208,6 J

v = √(2·208,6/20) = 4,567 m/s

Ответ

v = 4,567 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 136237 J

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 800·22/2700 = 6,519 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·800·22² = 193600 J

K_after = ½·2700·6,519² = 57363 J

Потерянная энергия

ΔK = 193600 − 57363 = 136237 J

Ответ

ΔK = 136237 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 7,2 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,15·(19 + 29) = 7,2 N·s

Ответ

J = 7,2 N·s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 6,953 m/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 2·9,81·1,15 + 4·9,81·2,3 = 112,8 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 3,527 + 21,16 = 24,69 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 112,8 → ω = √(2·112,8/24,69) = 3,023 rad/s

v = ω·L = 3,023·2,3 = 6,953 m/s

Ответ

v = 6,953 m/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: E_rot = 7,2 J

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·16·1,5² = 18 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·18 = 7,2 J

Ответ

E_rot = 7,2 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: F_t = 98,79 N

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Вращающий момент на шестерне

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 1500/303,7 = 4,939 N·m

Делительный диаметр

d = m·N = 4·25 = 100 mm

Окружная сила

F_t = 2T/d = 2·4,939/0,1 = 98,79 N

Ответ

F_t = 98,79 N

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 1406 rpm

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Первая ступень

n_B = 3000·25/48 = 1563 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 1563·18/20 = 1406 rpm

Ответ

n_out = 1406 rpm

общее передаточное отношение = 2,133 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,8051 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,8/2π)² = 0,8051 m

Ответ

L = 0,8051 m

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,298 m/s

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 0,7·9,81/40 = 0,1717 m = A

Наибольшая скорость

Скорость наибольшая в положении равновесия.

ω = √(40/0,7) = 7,559 rad/s

v_max = A·ω = 0,1717·7,559 = 1,298 m/s

Ответ

v_max = 1,298 m/s

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 6,892 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(5000/2) = 50 rad/s

f_n = 50/(2π) = 7,958 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,958·√(1 − 0,5²) = 6,892 Hz

Ответ

f_d = 6,892 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 2,947 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 5 + 5 = 10 kN/m

k_eq = 10·60/(10 + 60) = 8,571 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(8571/25) = 18,52 rad/s

f_n = 18,52/(2π) = 2,947 Hz

Ответ

f_n = 2,947 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics