Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 90 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 90 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 20 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 20 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 30 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 30 kgθ = 40°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3,5 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 12 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 30 m/s под углом 70° к горизонту с вершины обрыва высотой 5 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 30 m/sθ = 70°h = 5 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 1600 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 13 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 35 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 1600 kgv = 13 m/sr = 35 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 2 kg на нити длиной 1,2 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 2 kgr = 1,2 mv = 5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 2000 kg въезжает на подъём 3° с постоянной скоростью 54 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 600 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 2000 kgθ = 3°F_r = 600 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 5000 N/m у основания наклонной плоскости 25° сжимают на 5 cm бруском массой 1 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 1 kgk = 5000 N/mx = 5 cmθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2 kg, движущаяся со скоростью 6 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 2,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 2 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,15 kg ударяется о стену со скоростью 11 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 19 m/s. Контакт длится 20 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,15 kgv_in = 11 m/sv_out = 19 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Маховик с моментом инерции 30,5 kg·m² вращается с частотой 1700 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 95 N·m. За какое время t он остановится?

I = 30,5 kg·m²n = 1700 rpmT_b = 95 N·m

t = s

14.Вращение твёрдого телаСложная

Человек стоит на поворотном круге без трения и держит в каждой руке гантель массой 4,5 kg на расстоянии 0,75 m от оси. Человек вместе с кругом имеют момент инерции 3,5 kg·m² относительно оси. Они вращаются с частотой 25 rpm, затем человек приближает гантели к оси до расстояния 0,35 m. Считайте гантели точечными массами. Найдите новую частоту вращения n₂ в rpm.

I₀ = 3,5 kg·m²m = 2 × 4,5 kgr₁ = 0,75 mr₂ = 0,35 mn₁ = 25 rpm

n₂ = rpm

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 0,75 kW с частотой вращения 1450 rpm приводит шестерню с числом зубьев 16, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 80. КПД зубчатой пары — 98 %. Найдите крутящий момент T₁ на валу двигателя.

P = 0,75 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 16N₂ = 80η = 98%

T₁ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 5,5 kW с частотой 1450 rpm приводит колесо A (20 зубьев), которое зацепляется с колесом B (50 зубьев). Колесо C (15 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (32 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 97%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 5,5 kWn_in = 1450 rpmA = 20B = 50C = 15D = 32η_mesh = 97%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 3 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 3 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,8 kg на пружине с k = 410 N/m оттягивают на 3 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 0,8 kgk = 410 N/mA = 3 cm

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 40 kg опирается на пружину жёсткостью 25 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 400 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 40 kgk = 25 kN/mc = 400 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 20 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 25 kN/m и k₂ = 12 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 20 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 6,25 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/4 = 6,25 s

Ответ

t = 6,25 s

2.Кинематика

Ответ: t = 4,908 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−20 = 20·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 20·t − 20 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (20 + √(20² + 2·9,81·20))/9,81 = 4,908 s

Ответ

t = 4,908 s

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 279,4 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 189,2 + 90,18 = 279,4 N

Ответ

F = 279,4 N

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 25,09 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 0)/13 = 2,641 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9,5·2,641 + 0 = 25,09 N

Ответ

T = 25,09 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 0,8367 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 20° = 11,28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 20° = 4,104 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·4,104/9,81 = 0,8367 s

Ответ

t = 0,8367 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 45,51 m

Вертикальная начальная скорость

v_y = 30·sin 70° = 28,19 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 28,19²/(2·9,81) = 40,51 m

Высота над землёй

H = 5 + 40,51 = 45,51 m

Ответ

H = 45,51 m

7.Движение по окружности

Ответ: N = 7970 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 1600·9,81 − 1600·13²/35 = 15696 − 7726 = 7970 N

Ответ

N = 7970 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: T = 61,29 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9,81 + 2·5²/1,2 = 19,62 + 41,67 = 61,29 N

Ответ

T = 61,29 N

9.Работа и энергия

Ответ: P = 24,4 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 2000·9,81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 3° = 1027 N

F = 1027 + 600 = 1627 N

Мощность

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 1627·15 = 24402 W = 24,4 kW

Ответ

P = 24,4 kW

10.Работа и энергия

Ответ: d = 1,141 m

Энергия пружины

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·5000·0,05² = 6,25 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 6,25/(9,81·(0,4226 + 0,15·0,9063)) = 1,141 m

Ответ

d = 1,141 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −0,6667 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2 − 2,5)/(2 + 2,5)·6 = −0,6667 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 2,5)·6 = 5,333 m/s

Ответ

v′₁ = −0,6667 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 225 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,15·(19 + 11) = 4,5 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 4,5/0,02 = 225 N

Ответ

F_avg = 225 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: t = 57,15 s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1700/60 = 178 rad/s

Замедление и время

α = T_b/I = 95/30,5 = 3,115 rad/s²

t = ω/α = 178/3,115 = 57,15 s

Ответ

t = 57,15 s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: n₂ = 46,51 rpm

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Моменты инерции

I₁ = 3,5 + 2·4,5·0,75² = 8,563 kg·m²

I₂ = 3,5 + 2·4,5·0,35² = 4,603 kg·m²

Закон сохранения момента импульса

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 25·8,563/4,603 = 46,51 rpm

Ответ

n₂ = 46,51 rpm

Кинетическая энергия возрастает: дополнительная энергия берётся из работы человека, придвигающего гантели.

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₁ = 4,939 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/151,8 = 4,939 N·m

Ответ

T₁ = 4,939 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 181,8 N·m

Скорость на выходе

n_out = 1450·(20/50)·(15/32) = 271,9 rpm

ω_out = 2π·271,9/60 = 28,47 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 5500·0,97² = 5175 W

T_out = P_out/ω_out = 5175/28,47 = 181,8 N·m

Ответ

T_out = 181,8 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 2,236 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(3/2π)² = 2,236 m

Ответ

L = 2,236 m

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,6792 m/s

Угловая частота

ω = √(410/0,8) = 22,64 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,03·22,64 = 0,6792 m/s

Ответ

v_max = 0,6792 m/s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,2

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·40) = 2000 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 400/2000 = 0,2

Ответ

ζ = 0,2

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 6,846 Hz

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 25 + 12 = 37 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(37000/20) = 43,01 rad/s

f_n = 43,01/(2π) = 6,846 Hz

Ответ

f_n = 6,846 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics