Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 108 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,5 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 6 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 108 km/ht_r = 1,5 sa = −6 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 6 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 6 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 30 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 20° к горизонту с силой 160 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 30 kgF = 160 Nθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 5,5 kg на наклонной плоскости под углом 20° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 5,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 5,5 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 12 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с вершины скалы высотой 25 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 14 m/sθ = 60°h = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 800 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 6 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 85 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 800 kgv = 6 m/sr = 85 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,4 kg на лёгкой нити длиной 0,8 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 7,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,4 kgr = 0,8 mv_bottom = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 14 m вдоль плоскости.

θ = 30°μ = 0,2d = 14 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 3 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,3). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 4 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 2 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgμ = 0,3d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 20 kg, движущийся горизонтально со скоростью 7 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 12 kg продолжает движение вперёд со скоростью 58 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 8 kg (положительна в исходном направлении).

M = 20 kgu = 7 m/sm₁ = 12 kgv′₁ = 58 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 900 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1900 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 8 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 900 kgm₂ = 1900 kgd = 8 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 5 kg и длиной 1,8 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите угловую скорость ω стержня при прохождении вертикального положения.

m = 5 kgL = 1,8 mg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный тонкий стержень массой 5 kg и длиной 1,2 m неподвижно висит на шарнире без трения в своём верхнем конце. Пуля массой 5 g, летящая горизонтально со скоростью 440 m/s, попадает в стержень на 1,08 m ниже шарнира и застревает в нём. Найдите угловую скорость ω стержня сразу после удара.

M = 5 kgL = 1,2 mm = 5 gv = 440 m/sd = 1,08 m

ω = rad/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 7,5 kW с частотой вращения 960 rpm приводит шестерню с числом зубьев 20, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 30. КПД зубчатой пары — 97 %. Найдите выходной крутящий момент T₂ на валу колеса.

P = 7,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 20N₂ = 30η = 97%

T₂ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 18 зубьев, а каждый сателлит — 30 зубьев. Коронное колесо закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 1500 rpm. Найдите частоту вращения n_c водила.

N_s = 18N_p = 30n_s = 1500 rpm

n_c = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,8 m имеет период малых колебаний 2,83 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1,8 mT = 2,83 s

g = m/s²

18.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 1,4 s и амплитудой 4 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 4 cm в точку со смещением 3 cm?

T = 1,4 sA = 4 cmx = 3 cm

t = s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 12 kg на пружине жёсткостью 10 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,4. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 12 kgk = 10 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 100 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 80 kN/m и k₂ = 12 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 100 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 120 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 30·1,5 = 45 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·6) = 75 m

Итого

d = 45 + 75 = 120 m

Ответ

d = 120 m

2.Кинематика

Ответ: t = 3,159 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−30 = 6·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 6·t − 30 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (6 + √(6² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,159 s

Ответ

t = 3,159 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,213 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 294,3 − 160·sin 20° = 239,6 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 150,4 − 23,96

a = 126,4/30 = 4,213 m/s²

Ответ

a = 4,213 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 40,01 N

Силы вдоль нити

m₂·g = 53,96 N

m₁·g·sin θ = 18,45 N

μ·m₁·g·cos θ = 7,605 N

Ускорение системы

a = (53,96 − 18,45 − 7,605)/11 = 2,536 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 5,5·(9,81 − 2,536) = 40,01 N

Ответ

T = 40,01 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 12,71 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 60° = 6 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 60° = 10,39 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·10,39/9,81 = 2,119 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 6·2,119 = 12,71 m

Ответ

x = 12,71 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,81 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 60° = 7 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 60° = 12,12 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 25 + 12,12·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12,12 + √(147 + 490,5))/9,81 = 3,81 s

Ответ

t = 3,81 s

7.Движение по окружности

Ответ: N = 7509 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 800·9,81 − 800·6²/85 = 7848 − 338,8 = 7509 N

Ответ

N = 7509 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 8,505 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 7,5² − 4·9,81·0,8 = 24,86 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,4·24,86/0,8 − 0,4·9,81 = 8,505 N

Ответ

T_top = 8,505 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 9,474 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·14·(0,5 − 0,2·0,866)) = 9,474 m/s

Ответ

v = 9,474 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 4,169 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 39,24·2 = 78,48 J

μ·m₁g·d = 0,3·29,43·2 = 17,66 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 60,82 → v = √(2·60,82/7) = 4,169 m/s

Ответ

v = 4,169 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −69,5 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Импульс до удара

p = M·u = 20·7 = 140 kg·m/s

Импульс после удара

140 = 12·58 + 8·v′₂

v′₂ = (140 − 696)/8 = −69,5 m/s

Ответ

v′₂ = −69,5 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 27,56 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·8) = 8,859 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·8,859/900 = 27,56 m/s

Ответ

v₁ = 27,56 m/s

(99,22 km/h)

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 4,044 rad/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 = 5·9,81·0,9 = 44,15 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 = 5·1,8²/3 = 5,4 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 44,15 → ω = √(2·44,15/5,4) = 4,044 rad/s

Ответ

ω = 4,044 rad/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 0,9876 rad/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Момент инерции после удара

I = M·L²/3 + m·d² = 5·1,2²/3 + 0,005·1,08² = 2,406 kg·m²

Момент импульса относительно шарнира

Сила в шарнире проходит через шарнир, поэтому во время удара её момент относительно него равен нулю.

m·v·d = I·ω → ω = 0,005·440·1,08/2,406 = 0,9876 rad/s

Ответ

ω = 0,9876 rad/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₂ = 108,5 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/100,5 = 74,6 N·m

Выходной крутящий момент

T₂ = 74,6·30/20·0,97 = 108,5 N·m

Ответ

T₂ = 108,5 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_c = 281,3 rpm

Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.

Число зубьев коронного колеса

N_r = N_s + 2·N_p = 18 + 2·30 = 78

Формула Виллиса при неподвижном коронном колесе

Положите n_r = 0 и найдите частоту вращения водила.

(1500 − n_c)/(0 − n_c) = −78/18

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1500·18/96 = 281,3 rpm

Ответ

n_c = 281,3 rpm

Водило вращается в том же направлении, что и солнечная шестерня.

17.Пружины и маятники

Ответ: g = 8,873 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,8/2,83² = 8,873 m/s²

Ответ

g = 8,873 m/s²

18.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,161 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/1,4 = 4,488 rad/s

Выразите время

0,75 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,75) = 0,7227 rad

t = 0,7227/4,488 = 0,161 s

Ответ

t = 0,161 s

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 4,211 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(10000/12) = 28,87 rad/s

f_n = 28,87/(2π) = 4,594 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,594·√(1 − 0,4²) = 4,211 Hz

Ответ

f_d = 4,211 Hz

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 92 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 12 = 92 kN/m

Ответ

k_eq = 92 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics