Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 22 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 2,5 m/s². Через сколько времени полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите t.

v_car = 22 m/sa_police = 2,5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 15 m/s с края крыши на высоте 10 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 15 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 12 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 12 kgθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 22 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 15° к горизонту с вершины скалы высотой 20 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 15°h = 20 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 1800 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 10 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 75 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 1800 kgv = 10 m/sr = 75 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,8 kg на лёгкой нити длиной 0,9 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 12 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,8 kgr = 0,9 mv_bottom = 12 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 0,5 kg скользит 17 m по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,2. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 0,5 kgθ = 25°μ = 0,2d = 17 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 1 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 10 kgh = 4 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 8 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 2 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 8 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 8 gM = 2 kgh = 8 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1000 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1300 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 20 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1000 kgm₂ = 1300 kgd = 20 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Маховик с моментом инерции 37 kg·m² вращается с частотой 1400 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 200 N·m. За какое время t он остановится?

I = 37 kg·m²n = 1400 rpmT_b = 200 N·m

t = s

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный тонкий стержень массой 4,5 kg и длиной 1,9 m неподвижно висит на шарнире без трения в своём верхнем конце. Пуля массой 15 g, летящая горизонтально со скоростью 560 m/s, попадает в стержень на 1,66 m ниже шарнира и застревает в нём. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольший угол φ отклонения стержня от вертикали.

M = 4,5 kgL = 1,9 mm = 15 gv = 560 m/sd = 1,66 mg = 9,81 m/s²

φ = °

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Два параллельных вала расположены на расстоянии 84 mm. Их нужно соединить парой прямозубых колёс с модулем 3 mm и передаточным отношением 2,5 : 1 (понижающая передача). Сколько зубьев N₂ должно иметь колесо?

a = 84 mmm = 3 mmi = 2,5

N₂ =

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (12 зуб.) на входном валу вращается с частотой 2900 rpm и приводит колесо B (50 зуб.). Колесо C (24 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (72 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 2900 rpmA = 12B = 50C = 24D = 72

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 0,2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 0,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 380 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 4 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 3 cm от положения равновесия.

k = 380 N/mA = 4 cmx = 3 cm

U = J

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 200 kg на пружине жёсткостью 100 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,6. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 200 kgk = 100 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 50 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 100 kN/m, у нижней k₂ = 30 kN/m. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 17,6 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·22/2,5 = 17,6 s

Ответ

t = 17,6 s

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 44 m/s.

2.Кинематика

Ответ: t = 3,621 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−10 = 15·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 15·t − 10 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (15 + √(15² + 2·9,81·10))/9,81 = 3,621 s

Ответ

t = 3,621 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,051 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 20° − 0,25·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,2349) = 1,051 m/s²

Ответ

a = 1,051 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 26,23 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 8,584)/9 = 5,041 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3,5·5,041 + 8,584 = 26,23 N

Ответ

T = 26,23 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 31,71 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 20° = 20,67 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 20° = 7,524 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·7,524/9,81 = 1,534 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 20,67·1,534 = 31,71 m

Ответ

x = 31,71 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 93,75 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 15° = 30,91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 15° = 8,282 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 20 + 8,282·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,282 + √(68,59 + 392,4))/9,81 = 3,033 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 30,91·3,033 = 93,75 m

Ответ

x = 93,75 m

7.Движение по окружности

Ответ: N = 15258 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 1800·9,81 − 1800·10²/75 = 17658 − 2400 = 15258 N

Ответ

N = 15258 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 199,7 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 12² − 4·9,81·0,9 = 108,7 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,8·108,7/0,9 − 1,8·9,81 = 199,7 N

Ответ

T_top = 199,7 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 15,11 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 4,905·0,9063 = 4,445 N

F = μN = 0,2·4,445 = 0,8891 N

Работа против трения

W_f = F·d = 0,8891·17 = 15,11 J

Ответ

W_f = 15,11 J

10.Работа и энергия

Ответ: N = 294,3 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(4 − 2) = 39,24 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

N = mv²/R − mg = 10·39,24/1 − 98,1 = 294,3 N

Ответ

N = 294,3 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 314,5 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,08) = 1,253 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 2)·1,253/0,008 = 314,5 m/s

Ответ

v = 314,5 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 32,22 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·20) = 14,01 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2300·14,01/1000 = 32,22 m/s

Ответ

v₁ = 32,22 m/s

(116 km/h)

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: t = 27,12 s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1400/60 = 146,6 rad/s

Замедление и время

α = T_b/I = 200/37 = 5,405 rad/s²

t = ω/α = 146,6/5,405 = 27,12 s

Ответ

t = 27,12 s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: φ = 54,72 °

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Момент инерции после удара

I = M·L²/3 + m·d² = 4,5·1,9²/3 + 0,015·1,66² = 5,456 kg·m²

Момент импульса относительно шарнира

Сила в шарнире проходит через шарнир, поэтому во время удара её момент относительно него равен нулю.

m·v·d = I·ω → ω = 0,015·560·1,66/5,456 = 2,556 rad/s

Энергия при качании

½·I·ω² = ½·5,456·2,556² = 17,82 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 42,18·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 17,82/42,18 = 0,5776 → φ = 54,72°

Ответ

φ = 54,72°

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N₂ = 40

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Суммарное число зубьев

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·84/3 = 56

Делим по передаточному отношению

N₁ = 56/(1 + 2,5) = 16

N₂ = 2,5·16 = 40

Ответ

N₂ = 40

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 232 rpm

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Первая ступень

n_B = 2900·12/50 = 696 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 696·24/72 = 232 rpm

Ответ

n_out = 232 rpm

общее передаточное отношение = 12,5 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: T = 0,8971 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(0,2/9,81) = 0,8971 s

Ответ

T = 0,8971 s

18.Пружины и маятники

Ответ: U = 0,171 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·380·0,04² = 0,304 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·380·0,03² = 0,171 J

Ответ

U = 0,171 J

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 2,847 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(100000/200) = 22,36 rad/s

f_n = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,6²) = 2,847 Hz

Ответ

f_d = 2,847 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 3,419 Hz

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/30 → k_eq = 100·30/(100 + 30) = 23,08 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(23077/50) = 21,48 rad/s

f_n = 21,48/(2π) = 3,419 Hz

Ответ

f_n = 3,419 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics