Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 45 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,1 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 4 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 45 km/ht_r = 1,1 sa = −4 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 20 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 16 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y над землёй они встретятся?

H = 20 mv_0B = 16 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 8 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 8 kgθ = 20°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 6 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 6 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 70° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 26 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 19 m/s под углом 45° к горизонту с вершины обрыва высотой 25 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 19 m/sθ = 45°h = 25 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 55 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 55 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1 kg на нити длиной 0,9 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1 kgr = 0,9 mv = 8,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 0,5 kg скользит 4 m по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,4. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 0,5 kgθ = 40°μ = 0,4d = 4 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 5000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2,5 kgh = 3,5 mL = 2,5 mμ = 0,15k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 0,5 kg, движущаяся со скоростью 3 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 0,5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,3 kg ударяется о стену со скоростью 10 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 12 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,3 kgv_in = 10 m/sv_out = 12 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 9 kg и длиной 2,4 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите угловую скорость ω стержня при прохождении вертикального положения.

m = 9 kgL = 2,4 mg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной цилиндр начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 40° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его скорость v после того, как он прокатился 8 m вдоль склона.

θ = 40°s = 8 mI = ½·m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Два параллельных вала расположены на расстоянии 54 mm. Их нужно соединить парой прямозубых колёс с модулем 1,5 mm и передаточным отношением 3 : 1 (понижающая передача). Сколько зубьев N₂ должно иметь колесо?

a = 54 mmm = 1,5 mmi = 3

N₂ =

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 15 зубьев, а каждый сателлит — 18 зубьев. Водило закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 1200 rpm. Найдите частоту вращения n_r коронного колеса (по модулю).

N_s = 15N_p = 18n_s = 1200 rpm

n_r = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2,3 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,3 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 470 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 4 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

k = 470 N/mA = 4 cmx = 1 cm

K = J

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 50 kg опирается на пружину жёсткостью 15 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 690 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 50 kgk = 15 kN/mc = 690 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 10 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 80 kN/m, у нижней k₂ = 15 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 33,28 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 12,5·1,1 = 13,75 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·4) = 19,53 m

Итого

d = 13,75 + 19,53 = 33,28 m

Ответ

d = 33,28 m

2.Кинематика

Ответ: y = 12,34 m

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

20 − ½g·t² = 16·t − ½g·t² → t = 20/16 = 1,25 s

Высота встречи

y = 16·1,25 − ½·9,81·1,25² = 12,34 m

Ответ

y = 12,34 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,355 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0) = 3,355 m/s²

Ответ

a = 3,355 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,344 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 13,24)/10,5 = 4,344 m/s²

Ответ

a = 4,344 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,981 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 70° = 8,893 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 70° = 24,43 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·24,43/9,81 = 4,981 s

Ответ

t = 4,981 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 34,2 m

Вертикальная начальная скорость

v_y = 19·sin 45° = 13,44 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 13,44²/(2·9,81) = 9,2 m

Высота над землёй

H = 25 + 9,2 = 34,2 m

Ответ

H = 34,2 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 19,43 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·55) = 19,43 m/s

Ответ

v_max = 19,43 m/s (69,96 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 90,09 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1·9,81 + 1·8,5²/0,9 = 9,81 + 80,28 = 90,09 N

Ответ

T = 90,09 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 6,012 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 4,905·0,766 = 3,757 N

F = μN = 0,4·3,757 = 1,503 N

Работа против трения

W_f = F·d = 1,503·4 = 6,012 J

Ответ

W_f = 6,012 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 17,51 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(3,5 − 0,15·2,5) = 76,64 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 76,64 → x = √(2·76,64/5000) = 0,1751 m = 17,51 cm

Ответ

x = 17,51 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 2 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (0,5 − 1)/(0,5 + 1)·3 = −1 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 1)·3 = 2 m/s

Ответ

v′₂ = 2 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 264 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,3·(12 + 10) = 6,6 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 6,6/0,025 = 264 N

Ответ

F_avg = 264 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 3,502 rad/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 = 9·9,81·1,2 = 105,9 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 = 9·2,4²/3 = 17,28 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 105,9 → ω = √(2·105,9/17,28) = 3,502 rad/s

Ответ

ω = 3,502 rad/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 8,201 m/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Высота спуска

h = s·sin θ = 8·sin 40° = 5,142 m

Энергетический баланс при качении

Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,5)

v = √(2·9,81·5,142/1,5) = 8,201 m/s

Ответ

v = 8,201 m/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N₂ = 54

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Суммарное число зубьев

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·54/1,5 = 72

Делим по передаточному отношению

N₁ = 72/(1 + 3) = 18

N₂ = 3·18 = 54

Ответ

N₂ = 54

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_r = 352,9 rpm

Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.

Число зубьев коронного колеса

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·18 = 51

Формула Виллиса при неподвижном водиле

При n_c = 0 солнечная шестерня приводит коронное колесо через сателлиты, которые работают как паразитные колёса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1200·15/51 = −352,9 rpm

|n_r| = 352,9 rpm

Ответ

n_r = 352,9 rpm

Коронное колесо вращается в направлении, противоположном солнечной шестерне.

17.Пружины и маятники

Ответ: T = 3,042 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,3/9,81) = 3,042 s

Ответ

T = 3,042 s

18.Пружины и маятники

Ответ: K = 0,3525 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·470·0,04² = 0,376 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·470·0,01² = 0,0235 J

Кинетическая энергия

K = 0,376 − 0,0235 = 0,3525 J

Ответ

K = 0,3525 J

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,3984

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·50) = 1732 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 690/1732 = 0,3984

Ответ

ζ = 0,3984

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 12,63 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/15 → k_eq = 80·15/(80 + 15) = 12,63 kN/m

Ответ

k_eq = 12,63 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics