Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 120 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 120 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2 m/s² в течение 4 s, затем движется с постоянной скоростью 14 s и, наконец, тормозит с замедлением 2,5 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 4 st₂ = 14 sa₃ = −2,5 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 2 m/s и останавливается через 0,82 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 2 m/sd = 0,82 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 10 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 10 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 40 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 20 m/s под углом 25° к горизонту с вершины обрыва высотой 15 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 20 m/sθ = 25°h = 15 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 0,9 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 40° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 0,9 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 1,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 47,5 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 9,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_top трассы на тележку в верхней точке петли.

m = 1,5 kgh = 47,5 mR = 9,5 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 8 m вдоль плоскости.

θ = 45°μ = 0,2d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 20° и тянется вверх по ней постоянной силой 20 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 6 m вверх по плоскости.

m = 2 kgF = 20 Nθ = 20°μ = 0,3d = 6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 5 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 3,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 21 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 5 gM = 3,5 kgh = 21 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1200 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1000 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 14 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1200 kgm₂ = 1000 kgd = 14 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Двигатель разгоняет маховик с моментом инерции 0,5 kg·m² из состояния покоя до 2500 rpm за 22 s. Пренебрегая потерями, найдите среднюю мощность P_avg, которую он развивает, в kW.

I = 0,5 kg·m²n = 2500 rpmt = 22 s

P_avg = kW

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 30° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Оно начинает движение из состояния покоя. За какое время t оно прокатится 4 m вниз по склону?

θ = 30°I = m·r²g = 9,81 m/s²s = 4 m

t = s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 22 kW с частотой вращения 960 rpm приводит шестерню с 16 зубьями и модулем 2,5 mm. Найдите окружную силу F_t на зубьях шестерни.

P = 22 kWn = 960 rpmN₁ = 16m = 2,5 mm

F_t = N

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (15 зуб.) на входном валу вращается с частотой 3000 rpm и приводит колесо B (48 зуб.). Колесо C (30 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (36 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 3000 rpmA = 15B = 48C = 30D = 36

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,5 m имеет период малых колебаний 2,3 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 0,5 mT = 2,3 s

g = m/s²

18.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 2,1 s и амплитудой 10 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из положения равновесия в точку со смещением 3 cm?

T = 2,1 sA = 10 cmx = 3 cm

t = s

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 50 mm через 2 циклов следует пик 14,1 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 50 mmx₂ = 14,1 mmn = 2

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 25 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 50 kN/m, у нижней k₂ = 40 kN/m. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 92,59 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·6) = 92,59 m

Ответ

s = 92,59 m

2.Кинематика

Ответ: s = 140,8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2·4 = 8 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·2·4² = 16 m

s₂ = 8·14 = 112 m

s₃ = 8²/(2·2,5) = 12,8 m

Полный путь

s = 16 + 112 + 12,8 = 140,8 m

Ответ

s = 140,8 m

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,2486

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 2²/(2·0,82) = 2,439 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,439/9,81 = 0,2486

Ответ

μ = 0,2486

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 38,29 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 9,81)/15,5 = 2,848 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 10·2,848 + 9,81 = 38,29 N

Ответ

T = 38,29 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 2,789 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 20° = 37,59 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 20° = 13,68 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·13,68/9,81 = 2,789 s

Ответ

t = 2,789 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 18,64 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 20·sin 25° = 8,452 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 8,452²/(2·9,81) = 3,641 m

Высота над землёй

H = 15 + 3,641 = 18,64 m

Ответ

H = 18,64 m

7.Движение по окружности

Ответ: v = 2,182 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 0,9·sin 40° = 0,5785 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,5785·9,81·tan 40°) = 2,182 m/s

Ответ

v = 2,182 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: N_top = 73,58 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·(47,5 − 2·9,5) = 559,2 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R − m·g = 1,5·559,2/9,5 − 14,71 = 73,58 N

Ответ

N_top = 73,58 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 9,423 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·8·(0,7071 − 0,2·0,7071)) = 9,423 m/s

Ответ

v = 9,423 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 6,823 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

mg·sin θ = 6,71 N

μ·mg·cos θ = 5,531 N

Работа и энергия

½mv² = (20 − 12,24)·6 = 46,55 J

v = √(2·46,55/2) = 6,823 m/s

Ответ

v = 6,823 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 1423 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,21) = 2,03 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,005 + 3,5)·2,03/0,005 = 1423 m/s

Ответ

v = 1423 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 27,18 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·14) = 14,82 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2200·14,82/1200 = 27,18 m/s

Ответ

v₁ = 27,18 m/s

(97,84 km/h)

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: P_avg = 0,7789 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·2500/60 = 261,8 rad/s

Энергия

E = ½·I·ω² = ½·0,5·261,8² = 17135 J

Средняя мощность

P_avg = E/t = 17135/22 = 778,9 W = 0,7789 kW

Ответ

P_avg = 0,7789 kW

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: t = 1,806 s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Уравнения движения

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

Ускорение

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 30°/2 = 2,452 m/s²

Время

s = ½·a·t² → t = √(2·4/2,452) = 1,806 s

Ответ

t = 1,806 s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: F_t = 10942 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Вращающий момент на шестерне

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 22000/100,5 = 218,8 N·m

Делительный диаметр

d = m·N = 2,5·16 = 40 mm

Окружная сила

F_t = 2T/d = 2·218,8/0,04 = 10942 N

Ответ

F_t = 10942 N

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 781,3 rpm

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Первая ступень

n_B = 3000·15/48 = 937,5 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 937,5·30/36 = 781,3 rpm

Ответ

n_out = 781,3 rpm

общее передаточное отношение = 3,84 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: g = 3,731 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,5/2,3² = 3,731 m/s²

Ответ

g = 3,731 m/s²

18.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,1018 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/2,1 = 2,992 rad/s

Выразите время

0,3 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,3) = 0,3047 rad

t = 0,3047/2,992 = 0,1018 s

Ответ

t = 0,1018 s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,1002

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/2)·ln(50/14,1) = 0,6329

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6329/√(39,48 + 0,4006) = 0,1002

Ответ

ζ = 0,1002

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 4,745 Hz

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/40 → k_eq = 50·40/(50 + 40) = 22,22 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(22222/25) = 29,81 rad/s

f_n = 29,81/(2π) = 4,745 Hz

Ответ

f_n = 4,745 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics