Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 90 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 90 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 20 m/s с края крыши на высоте 35 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 20 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 2 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 2 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 5 kg на наклонной плоскости под углом 35° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 10 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 5 kgm₂ = 10 kgθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 30 m/s под углом 50° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 27 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 30 m/sθ = 50°x = 27 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 24 m/s под углом 40° к горизонту с вершины обрыва высотой 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 24 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 120 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 120 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 90 m имеет вираж с уклоном 15°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 90 mθ = 15°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 6 m вдоль плоскости.

θ = 20°μ = 0,15d = 6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 2000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 10 kgh = 3 mL = 2,5 mμ = 0,2k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1700 kg, движущийся со скоростью 10 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 2000 kg, и они сцепляются. Какой процент ΔK/K исходной кинетической энергии теряется?

m₁ = 1700 kgv₁ = 10 m/sm₂ = 2000 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1400 kg, едущий на восток со скоростью 12 m/s, сталкивается с автомобилем массой 800 kg, едущим на север со скоростью 18 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 1400 kgv₁ = 12 m/s (E)m₂ = 800 kgv₂ = 18 m/s (N)

v′ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Маховик с моментом инерции 39 kg·m² вращается с частотой 1700 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 60 N·m. Сколько оборотов N сделает маховик до остановки?

I = 39 kg·m²n = 1700 rpmT_b = 60 N·m

N = rev

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной цилиндр начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 20° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Его радиус равен 0,3 m. Найдите его угловую скорость ω после того, как он прокатился 4,5 m вдоль склона.

θ = 20°s = 4,5 mI = ½·m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,3 m

ω = rad/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 4 kW с частотой вращения 960 rpm приводит шестерню с числом зубьев 18, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 24. КПД зубчатой пары — 95 %. Найдите крутящий момент T₁ на валу двигателя.

P = 4 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 18N₂ = 24η = 95%

T₁ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Открытый ремень соединяет ведущий шкив 125 mm с частотой 1450 rpm со шкивом 500 mm; расстояние между центрами 500 mm. Коэффициент трения равен 0,3, а натяжение ведущей ветви не должно превышать 1200 N. Найдите наибольшую мощность P, которую ремень может передать без проскальзывания, в kW (центробежными эффектами пренебрегите).

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 500 mmC = 500 mmμ = 0,3T₁ = 1200 N

P = kW

17.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,1 m имеет период малых колебаний 1,32 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1,1 mT = 1,32 s

g = m/s²

18.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 3,9 s и амплитудой 15 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из положения равновесия в точку со смещением 9 cm?

T = 3,9 sA = 15 cmx = 9 cm

t = s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 10 kg на пружине жёсткостью 80 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,45. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 10 kgk = 80 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 100 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 15 kN/m и k₂ = 30 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 41,67 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·7,5) = 41,67 m

Ответ

s = 41,67 m

2.Кинематика

Ответ: t = 5,399 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−35 = 20·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 20·t − 35 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (20 + √(20² + 2·9,81·35))/9,81 = 5,399 s

Ответ

t = 5,399 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,433 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 20° − 0,1·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,09397) = 2,433 m/s²

Ответ

a = 2,433 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 56,81 N

Силы вдоль нити

m₂·g = 98,1 N

m₁·g·sin θ = 28,13 N

μ·m₁·g·cos θ = 8,036 N

Ускорение системы

a = (98,1 − 28,13 − 8,036)/15 = 4,129 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 10·(9,81 − 4,129) = 56,81 N

Ответ

T = 56,81 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 22,56 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Время до стены

v_x = 30·cos 50° = 19,28 m/s

t = x/v_x = 27/19,28 = 1,4 s

Высота в этот момент

y = 22,98·1,4 − ½·9,81·1,4² = 22,56 m

Ответ

y = 22,56 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 53,79 °

Разложите начальную скорость

v_x = 24·cos 40° = 18,39 m/s

v_y0 = 24·sin 40° = 15,43 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(15,43² + 2·9,81·20) = 25,11 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 25,11/18,39 → α = 53,79°

Ответ

α = 53,79°

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 21,7 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·120) = 21,7 m/s

Ответ

v_max = 21,7 m/s (78,12 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 19,61 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(90·9,81·0,4037/0,9271) = 19,61 m/s

Ответ

v_max = 19,61 m/s

(70,59 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: v = 4,865 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·6·(0,342 − 0,15·0,9397)) = 4,865 m/s

Ответ

v = 4,865 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,004 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 98,1·(3 − 0,2·2,5) = 245,3 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s

Ответ

v = 7,004 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK/K = 54,05 %

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1700·10/3700 = 4,595 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1700·10² = 85000 J

K_after = ½·3700·4,595² = 39054 J

Потерянная доля

ΔK/K = 45946/85000 = 54,05 %

Ответ

ΔK/K = 54,05 %

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 10,06 m/s

Составляющие импульса

p_x = 1400·12 = 16800 kg·m/s

p_y = 800·18 = 14400 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 22127/2200 = 10,06 m/s

Ответ

v′ = 10,06 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: N = 1639 rev

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1700/60 = 178 rad/s

Работа тормоза равна кинетической энергии

½·I·ω² = ½·39·178² = 618002 J

θ = 618002/60 = 10300 rad

Обороты

N = θ/2π = 1639 rev

Ответ

N = 1639 rev

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 14,96 rad/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Высота спуска

h = s·sin θ = 4,5·sin 20° = 1,539 m

Энергетический баланс при качении

Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,5)

v = √(2·9,81·1,539/1,5) = 4,487 m/s

ω = v/r = 4,487/0,3 = 14,96 rad/s

Ответ

ω = 14,96 rad/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₁ = 39,79 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/100,5 = 39,79 N·m

Ответ

T₁ = 39,79 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: P = 5,8 kW

Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = e^μθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.

Угол обхвата

θ = 2,373 rad

Натяжение ведомой ветви

e^μθ = e^0,7118 = 2,038, T₂ = 1200/2,038 = 588,9 N

Мощность

P = (1200 − 588,9)·9,49 = 5,8 kW

Ответ

P = 5,8 kW

17.Пружины и маятники

Ответ: g = 24,92 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,1/1,32² = 24,92 m/s²

Ответ

g = 24,92 m/s²

18.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,3994 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/3,9 = 1,611 rad/s

Выразите время

0,6 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,6) = 0,6435 rad

t = 0,6435/1,611 = 0,3994 s

Ответ

t = 0,3994 s

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 12,71 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(80000/10) = 89,44 rad/s

f_n = 89,44/(2π) = 14,24 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 14,24·√(1 − 0,45²) = 12,71 Hz

Ответ

f_d = 12,71 Hz

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 45 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 30 = 45 kN/m

Ответ

k_eq = 45 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics