Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 36 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 36 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 1,5 m/s² в течение 9 s, затем движется с постоянной скоростью 23 s и, наконец, тормозит с замедлением 5 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 9 st₂ = 23 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 6 m/s и останавливается через 12 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 6 m/sd = 12 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 6 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 5 kgm₂ = 6 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 18 m/s, и он должен упасть на расстоянии 25 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 18 m/sR = 25 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 15° к горизонту с вершины скалы высотой 45 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 29 m/sθ = 15°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 25 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 25 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,7 kg на нити длиной 0,6 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 4,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,7 kgr = 0,6 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 12 m вдоль плоскости.

θ = 40°μ = 0,15d = 12 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2 kgh = 2,5 mL = 2,5 mμ = 0,1k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 13 kg, движущийся горизонтально со скоростью 12 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 2 kg продолжает движение вперёд со скоростью 66 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 11 kg (положительна в исходном направлении).

M = 13 kgu = 12 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 66 m/sm₂ = 11 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1300 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1800 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 13,5 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1300 kgm₂ = 1800 kgd = 13,5 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 6 kg и длиной 1,4 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. К его свободному концу прикреплён маленький шарик массой 1 kg. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v свободного конца при прохождении стержнем вертикального положения.

m = 6 kgL = 1,4 mm_ball = 1 kgg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной цилиндр массой 6,5 kg катится без проскальзывания со скоростью 7,5 m/s. Найдите его полную кинетическую энергию E_k.

m = 6,5 kgv = 7,5 m/sI = ½·m·r²

E_k = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 1,1 kW с частотой вращения 960 rpm приводит шестерню с 16 зубьями и модулем 3 mm. Найдите окружную силу F_t на зубьях шестерни.

P = 1,1 kWn = 960 rpmN₁ = 16m = 3 mm

F_t = N

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 15 зубьев, а каждый сателлит — 20 зубьев. Водило закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 600 rpm. Найдите частоту вращения n_r коронного колеса (по модулю).

N_s = 15N_p = 20n_s = 600 rpm

n_r = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,2 kg на пружине с k = 30 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 18 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 8 cm от положения равновесия.

m = 3,2 kgk = 30 N/mA = 18 cmx = 8 cm

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 380 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 8 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 5 cm от положения равновесия.

k = 380 N/mA = 8 cmx = 5 cm

U = J

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 15 kg на пружине жёсткостью 10 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,45. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 15 kgk = 10 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 40 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 5 kN/m, у нижней k₂ = 30 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 40 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 12,5 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·4) = 12,5 m

Ответ

s = 12,5 m

2.Кинематика

Ответ: s = 389,5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 1,5·9 = 13,5 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·1,5·9² = 60,75 m

s₂ = 13,5·23 = 310,5 m

s₃ = 13,5²/(2·5) = 18,23 m

Полный путь

s = 60,75 + 310,5 + 18,23 = 389,5 m

Ответ

s = 389,5 m

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,1529

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 6²/(2·12) = 1,5 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,5/9,81 = 0,1529

Ответ

μ = 0,1529

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,351 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 0)/11 = 5,351 m/s²

Ответ

a = 5,351 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 24,6 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·25/18² = 0,7569

Угол

2θ = 49,2° → θ = 24,6°

Ответ

θ = 24,6°

Второе решение: 90° − θ = 65,4°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,889 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 15° = 28,01 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 15° = 7,506 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 45 + 7,506·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7,506 + √(56,34 + 882,9))/9,81 = 3,889 s

Ответ

t = 3,889 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 9,905 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·25) = 9,905 m/s

Ответ

v_max = 9,905 m/s (35,66 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 74,05 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,7·9,81 + 1,7·4,5²/0,6 = 16,68 + 57,38 = 74,05 N

Ответ

T = 74,05 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 11,15 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·12·(0,6428 − 0,15·0,766)) = 11,15 m/s

Ответ

v = 11,15 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 42,02 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 19,62·(2,5 − 0,1·2,5) = 44,15 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 44,15 → x = √(2·44,15/500) = 0,4202 m = 42,02 cm

Ответ

x = 42,02 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 2,182 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 13·12 = 156 kg·m/s

Импульс после удара

156 = 2·66 + 11·v′₂

v′₂ = (156 − 132)/11 = 2,182 m/s

Ответ

v′₂ = 2,182 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 30,06 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·13,5) = 12,61 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3100·12,61/1300 = 30,06 m/s

Ответ

v₁ = 30,06 m/s

(108,2 km/h)

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 6,052 m/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 6·9,81·0,7 + 1·9,81·1,4 = 54,94 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 3,92 + 1,96 = 5,88 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 54,94 → ω = √(2·54,94/5,88) = 4,323 rad/s

v = ω·L = 4,323·1,4 = 6,052 m/s

Ответ

v = 6,052 m/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: E_k = 274,2 J

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·6,5·7,5² = 182,8 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,5·m·r²·(v/r)² = 0,5·182,8 = 91,41 J

Итого

E_k = 182,8 + 91,41 = 274,2 J

Ответ

E_k = 274,2 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: F_t = 455,9 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Вращающий момент на шестерне

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 1100/100,5 = 10,94 N·m

Делительный диаметр

d = m·N = 3·16 = 48 mm

Окружная сила

F_t = 2T/d = 2·10,94/0,048 = 455,9 N

Ответ

F_t = 455,9 N

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_r = 163,6 rpm

Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.

Число зубьев коронного колеса

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·20 = 55

Формула Виллиса при неподвижном водиле

При n_c = 0 солнечная шестерня приводит коронное колесо через сателлиты, которые работают как паразитные колёса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −600·15/55 = −163,6 rpm

|n_r| = 163,6 rpm

Ответ

n_r = 163,6 rpm

Коронное колесо вращается в направлении, противоположном солнечной шестерне.

17.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,4937 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(30/3,2) = 3,062 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 3,062·√(0,18² − 0,08²) = 0,4937 m/s

Ответ

v = 0,4937 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: U = 0,475 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·380·0,08² = 1,216 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·380·0,05² = 0,475 J

Ответ

U = 0,475 J

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 3,67 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(10000/15) = 25,82 rad/s

f_n = 25,82/(2π) = 4,109 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,109·√(1 − 0,45²) = 3,67 Hz

Ответ

f_d = 3,67 Hz

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 4,286 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/30 → k_eq = 5·30/(5 + 30) = 4,286 kN/m

Ответ

k_eq = 4,286 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics