Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 220 km/h, а длина полосы 1200 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 220 km/hs = 1200 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 19 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 19 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 15 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 15 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 9 kgm₂ = 3 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 55° к горизонту, и он падает на расстоянии 90 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 55°R = 90 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 24 m/s под углом 60° к горизонту с вершины обрыва высотой 35 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 24 m/sθ = 60°h = 35 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,6 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 50° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 1,6 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 1,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 18,9 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 4,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_bottom трассы на тележку в нижней точке петли.

m = 1,5 kgh = 18,9 mR = 4,5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 800 N/m. На неё кладут мяч массой 0,2 kg, сжимают пружину на 10 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,2 kgk = 800 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 3 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,1). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 1 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 0,5 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgμ = 0,1d = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 15 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 1,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 19 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 15 gM = 1,5 kgh = 19 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 3 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,4 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 20° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 3 kgL = 1,4 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Двигатель развивает крутящий момент 880 N·m при 1000 rpm. Найдите его выходную мощность P в kW.

T = 880 N·mn = 1000 rpm

P = kW

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный тонкий стержень массой 1 kg и длиной 0,9 m неподвижно висит на шарнире без трения в своём верхнем конце. Пуля массой 5 g, летящая горизонтально со скоростью 440 m/s, попадает в стержень на 0,46 m ниже шарнира и застревает в нём. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольший угол φ отклонения стержня от вертикали.

M = 1 kgL = 0,9 mm = 5 gv = 440 m/sd = 0,46 mg = 9,81 m/s²

φ = °

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 4 kW с частотой вращения 1440 rpm приводит шестерню с 30 зубьями и модулем 2 mm. Найдите окружную силу F_t на зубьях шестерни.

P = 4 kWn = 1440 rpmN₁ = 30m = 2 mm

F_t = N

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 15 kW с частотой 2900 rpm приводит колесо A (15 зубьев), которое зацепляется с колесом B (36 зубьев). Колесо C (50 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (72 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 96%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 15 kWn_in = 2900 rpmA = 15B = 36C = 50D = 72η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,5 kg на пружине с k = 80 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 9 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 6 cm от положения равновесия.

m = 1,5 kgk = 80 N/mA = 9 cmx = 6 cm

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 10 g, летящая со скоростью 300 m/s, попадает в брусок массой 2,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1900 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 10 gv = 300 m/sM = 2,5 kgk = 1900 N/m

A = cm

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 5 kg опирается на пружину жёсткостью 15 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 220 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 5 kgk = 15 kN/mc = 220 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 5 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 100 kN/m и k₂ = 25 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 1,556 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 220/3,6 = 61,11 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 61,11²/(2·1200) = 1,556 m/s²

Ответ

a = 1,556 m/s²

2.Кинематика

Ответ: t = 5,078 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−30 = 19·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 19·t − 30 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (19 + √(19² + 2·9,81·30))/9,81 = 5,078 s

Ответ

t = 5,078 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,972 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 20° − 0,15·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,141) = 1,972 m/s²

Ответ

a = 1,972 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 22,07 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 0)/12 = 2,453 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·2,453 + 0 = 22,07 N

Ответ

T = 22,07 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 30,65 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·90/sin 110°) = 30,65 m/s

Ответ

v₀ = 30,65 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 57,02 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 24·sin 60° = 20,78 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 20,78²/(2·9,81) = 22,02 m

Высота над землёй

H = 35 + 22,02 = 57,02 m

Ответ

H = 57,02 m

7.Движение по окружности

Ответ: T = 2,034 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,6·sin 50° = 1,226 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,226·9,81·tan 50°) = 3,785 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·1,226/3,785 = 2,034 s

Ответ

T = 2,034 s

8.Движение по окружности

Ответ: N_bottom = 138,3 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·18,9 = 370,8 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R + m·g = 1,5·370,8/4,5 + 14,71 = 138,3 N

Ответ

N_bottom = 138,3 N

9.Работа и энергия

Ответ: h = 2,039 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·800·0,1² = 4 J

Высота

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

h = ½kx²/(mg) = 4/1,962 = 2,039 m

Ответ

h = 2,039 m

10.Работа и энергия

Ответ: v = 1,31 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 9,81·0,5 = 4,905 J

μ·m₁g·d = 0,1·29,43·0,5 = 1,472 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 3,434 → v = √(2·3,434/4) = 1,31 m/s

Ответ

v = 1,31 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 195 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,19) = 1,931 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 1,5)·1,931/0,015 = 195 m/s

Ответ

v = 195 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 387,4 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,4·(1 − cos 20°) = 0,08443 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,08443) = 1,287 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 3,01·1,287/0,01 = 387,4 m/s

Ответ

v = 387,4 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: P = 92,15 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

Мощность

P = T·ω = 880·104,7 = 92153 W = 92,15 kW

Ответ

P = 92,15 kW

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: φ = 54,95 °

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Момент инерции после удара

I = M·L²/3 + m·d² = 1·0,9²/3 + 0,005·0,46² = 0,2711 kg·m²

Момент импульса относительно шарнира

Сила в шарнире проходит через шарнир, поэтому во время удара её момент относительно него равен нулю.

m·v·d = I·ω → ω = 0,005·440·0,46/0,2711 = 3,734 rad/s

Энергия при качании

½·I·ω² = ½·0,2711·3,734² = 1,889 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 4,437·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 1,889/4,437 = 0,5742 → φ = 54,95°

Ответ

φ = 54,95°

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: F_t = 884,2 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Вращающий момент на шестерне

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 4000/150,8 = 26,53 N·m

Делительный диаметр

d = m·N = 2·30 = 60 mm

Окружная сила

F_t = 2T/d = 2·26,53/0,06 = 884,2 N

Ответ

F_t = 884,2 N

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 157,3 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Скорость на выходе

n_out = 2900·(15/36)·(50/72) = 839,1 rpm

ω_out = 2π·839,1/60 = 87,87 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 15000·0,96² = 13824 W

T_out = P_out/ω_out = 13824/87,87 = 157,3 N·m

Ответ

T_out = 157,3 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,4899 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(80/1,5) = 7,303 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 7,303·√(0,09² − 0,06²) = 0,4899 m/s

Ответ

v = 0,4899 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: A = 4,344 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,01·300/2,51 = 1,195 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1900/2,51) = 27,51 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 1,195/27,51 = 0,04344 m = 4,344 cm

Ответ

A = 4,344 cm

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,4017

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·5) = 547,7 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 220/547,7 = 0,4017

Ответ

ζ = 0,4017

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 125 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 25 = 125 kN/m

Ответ

k_eq = 125 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics