Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 15 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 5 m/s². На каком расстоянии от места старта полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите d.

v_car = 15 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 14 m/s с края крыши на высоте 10 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 14 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 12 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 12 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 10 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 10 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 30 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 50° к горизонту с вершины скалы высотой 35 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 23 m/sθ = 50°h = 35 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 85 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 85 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 130 m имеет вираж с уклоном 15°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 130 mθ = 15°μ_s = 0,2g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2,5 kg скользит 20 m по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,2. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2,5 kgθ = 30°μ = 0,2d = 20 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 4 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 800 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 4 kgh = 2 mL = 4,5 mμ = 0,1k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 2 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 4,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,8 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 15° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 4,5 kgL = 1,8 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Вал передаёт 53 kW при 400 rpm. Найдите крутящий момент T в валу.

P = 53 kWn = 400 rpm

T = N·m

14.Вращение твёрдого телаСложная

полый шар начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 35° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его скорость v после того, как он прокатился 8,5 m вдоль склона.

θ = 35°s = 8,5 mI = (2/3)·m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Шкив 200 mm с частотой 720 rpm приводит ремнём шкив 400 mm при проскальзывании 4 %. Найдите частоту вращения n₂ ведомого шкива.

n₁ = 720 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 400 mms = 4 %

n₂ = rpm

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 16 зубьев, а каждый сателлит — 18 зубьев. Водило закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 1440 rpm. Найдите частоту вращения n_r коронного колеса (по модулю).

N_s = 16N_p = 18n_s = 1440 rpm

n_r = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 0,9 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 0,9 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,5 kg на пружине с k = 160 N/m оттягивают на 2 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 1,5 kgk = 160 N/mA = 2 cm

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 8 kg на пружине жёсткостью 15 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,35. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 8 kgk = 15 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 50 kg висит на пружине k₃ = 50 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 10 kN/m и k₂ = 50 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 90 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·15/5 = 6 s

Путь

d = v·t = 15·6 = 90 m

Ответ

d = 90 m

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 30 m/s.

2.Кинематика

Ответ: t = 3,446 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−10 = 14·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 14·t − 10 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (14 + √(14² + 2·9,81·10))/9,81 = 3,446 s

Ответ

t = 3,446 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,972 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 20° − 0,15·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,141) = 1,972 m/s²

Ответ

a = 1,972 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,177 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 9,81)/12,5 = 1,177 m/s²

Ответ

a = 1,177 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 79,45 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 30° = 25,98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 30° = 15 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·15/9,81 = 3,058 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 25,98·3,058 = 79,45 m

Ответ

x = 79,45 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 74,14 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 50° = 14,78 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 50° = 17,62 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 35 + 17,62·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17,62 + √(310,4 + 686,7))/9,81 = 5,015 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 14,78·5,015 = 74,14 m

Ответ

x = 74,14 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 24,16 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·85) = 24,16 m/s

Ответ

v_max = 24,16 m/s (86,98 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 25,11 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(130·9,81·0,452/0,9142) = 25,11 m/s

Ответ

v_max = 25,11 m/s

(90,4 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 84,96 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 24,53·0,866 = 21,24 N

F = μN = 0,2·21,24 = 4,248 N

Работа против трения

W_f = F·d = 4,248·20 = 84,96 J

Ответ

W_f = 84,96 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,515 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 39,24·(2 − 0,1·4,5) = 60,82 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,55) = 5,515 m/s

Ответ

v = 5,515 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −0,5455 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2 − 3,5)/(2 + 3,5)·2 = −0,5455 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 3,5)·2 = 1,455 m/s

Ответ

v′₁ = −0,5455 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 247,9 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,8·(1 − cos 15°) = 0,06133 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,06133) = 1,097 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 4,52·1,097/0,02 = 247,9 m/s

Ответ

v = 247,9 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: T = 1265 N·m

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·400/60 = 41,89 rad/s

Крутящий момент

T = P/ω = 53000/41,89 = 1265 N·m

Ответ

T = 1265 N·m

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 7,576 m/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Высота спуска

h = s·sin θ = 8,5·sin 35° = 4,875 m

Энергетический баланс при качении

Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,6667)

v = √(2·9,81·4,875/1,667) = 7,576 m/s

Ответ

v = 7,576 m/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n₂ = 345,6 rpm

Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = e^μθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.

Частота вращения без проскальзывания

720·200/400 = 360 rpm

С проскальзыванием

n₂ = 360·0,96 = 345,6 rpm

Ответ

n₂ = 345,6 rpm

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_r = 443,1 rpm

Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.

Число зубьев коронного колеса

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·18 = 52

Формула Виллиса при неподвижном водиле

При n_c = 0 солнечная шестерня приводит коронное колесо через сателлиты, которые работают как паразитные колёса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1440·16/52 = −443,1 rpm

|n_r| = 443,1 rpm

Ответ

n_r = 443,1 rpm

Коронное колесо вращается в направлении, противоположном солнечной шестерне.

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,2013 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,9/2π)² = 0,2013 m

Ответ

L = 0,2013 m

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,2066 m/s

Угловая частота

ω = √(160/1,5) = 10,33 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,02·10,33 = 0,2066 m/s

Ответ

v_max = 0,2066 m/s

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 6,456 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(15000/8) = 43,3 rad/s

f_n = 43,3/(2π) = 6,892 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6,892·√(1 − 0,35²) = 6,456 Hz

Ответ

f_d = 6,456 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 3,717 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 10 + 50 = 60 kN/m

k_eq = 60·50/(60 + 50) = 27,27 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(27273/50) = 23,35 rad/s

f_n = 23,35/(2π) = 3,717 Hz

Ответ

f_n = 3,717 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics