Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 90 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 90 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 14 m/s с края крыши на высоте 15 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 14 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 3 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 3 kgθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 25° со скоростью 7 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 7 m/sθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 34 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 30 m/s под углом 40° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 10 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 30 m/sθ = 40°h_roof = 10 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,4 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую частоту вращения n в оборотах в минуту.

r = 2,4 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Движение по окружностиСложная

Небольшую тележку отпускают без начальной скорости на трассе без трения, и она въезжает в вертикальную петлю радиусом 2 m. С какой наименьшей высоты h_min над нижней точкой петли она должна стартовать, чтобы удержаться на трассе в верхней точке петли?

R = 2 mv₀ = 0

h_min = m

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,35. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 8 m вдоль плоскости.

θ = 45°μ = 0,35d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 5000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 2 kgh = 1,5 mL = 5 mμ = 0,1k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 4 kg, движущаяся со скоростью 6 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1900 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1400 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 21,5 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1900 kgm₂ = 1400 kgd = 21,5 mμ = 0,7g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Двигатель развивает крутящий момент 390 N·m при 1000 rpm. Найдите его выходную мощность P в kW.

T = 390 N·mn = 1000 rpm

P = kW

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной шар массой 3 kg катится без проскальзывания со скоростью 6 m/s. Найдите его полную кинетическую энергию E_k.

m = 3 kgv = 6 m/sI = (2/5)·m·r²

E_k = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Два параллельных вала расположены на расстоянии 225 mm. Их нужно соединить парой прямозубых колёс с модулем 3 mm и передаточным отношением 5 : 1 (понижающая передача). Сколько зубьев N₁ должна иметь шестерня?

a = 225 mmm = 3 mmi = 5

N₁ =

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 2,2 kW с частотой 960 rpm приводит колесо A (12 зубьев), которое зацепляется с колесом B (15 зубьев). Колесо C (50 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (60 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 98%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 2,2 kWn_in = 960 rpmA = 12B = 15C = 50D = 60η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2,8 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,8 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,5 kg на пружине с k = 240 N/m оттягивают на 8 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 0,5 kgk = 240 N/mA = 8 cm

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 50 mm через 3 циклов следует пик 19,5 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 50 mmx₃ = 19,5 mmn = 3

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 50 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 20 kN/m и k₂ = 40 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 50 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 52,08 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·6) = 52,08 m

Ответ

s = 52,08 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 24,99 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9,81) = 9,99 m

Высота над землёй

h_max = 15 + 9,99 = 24,99 m

Ответ

h_max = 24,99 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,368 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 25° − 0,2·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,1813) = 2,368 m/s²

Ответ

a = 2,368 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 3,847 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 25° + 0,25·cos 25°) = 6,369 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 7²/(2·6,369) = 3,847 m

Ответ

d = 3,847 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 6,003 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 60° = 17 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 60° = 29,44 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·29,44/9,81 = 6,003 s

Ответ

t = 6,003 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 76,22 m

Разложите начальную скорость

v_x = 22,98 m/s, v_y = 19,28 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

10 = 19,28·t − 4,905·t²

t = (19,28 + √(19,28² − 2·9,81·10))/9,81 = 3,317 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 22,98·3,317 = 76,22 m

Ответ

x = 76,22 m

7.Движение по окружности

Ответ: n = 24,92 rpm

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·2,4)) = 2,61 rad/s

Частота вращения

n = ω·60/(2π) = 24,92 rpm

Ответ

n = 24,92 rpm

8.Движение по окружности

Ответ: h_min = 5 m

Условие в верхней точке

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон сохранения энергии

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·2 = 5 m

Ответ

h_min = 5 m

9.Работа и энергия

Ответ: v = 8,494 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·8·(0,7071 − 0,35·0,7071)) = 8,494 m/s

Ответ

v = 8,494 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 4,429 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 19,62·(1,5 − 0,1·5) = 19,62 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s

Ответ

v = 4,429 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 6,857 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (4 − 3)/(4 + 3)·6 = 0,8571 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 3)·6 = 6,857 m/s

Ответ

v′₂ = 6,857 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 29,85 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,7·9,81·21,5) = 17,18 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3300·17,18/1900 = 29,85 m/s

Ответ

v₁ = 29,85 m/s

(107,4 km/h)

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: P = 40,84 kW

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

Мощность

P = T·ω = 390·104,7 = 40841 W = 40,84 kW

Ответ

P = 40,84 kW

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: E_k = 75,6 J

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·3·6² = 54 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·54 = 21,6 J

Итого

E_k = 54 + 21,6 = 75,6 J

Ответ

E_k = 75,6 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N₁ = 25

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Суммарное число зубьев

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·225/3 = 150

Делим по передаточному отношению

N₁ = 150/(1 + 5) = 25

Ответ

N₁ = 25

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 31,53 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Скорость на выходе

n_out = 960·(12/15)·(50/60) = 640 rpm

ω_out = 2π·640/60 = 67,02 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 2200·0,98² = 2113 W

T_out = P_out/ω_out = 2113/67,02 = 31,53 N·m

Ответ

T_out = 31,53 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: T = 3,357 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,8/9,81) = 3,357 s

Ответ

T = 3,357 s

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,753 m/s

Угловая частота

ω = √(240/0,5) = 21,91 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,08·21,91 = 1,753 m/s

Ответ

v_max = 1,753 m/s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,04989

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/3)·ln(50/19,5) = 0,3139

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3139/√(39,48 + 0,09851) = 0,04989

Ответ

ζ = 0,04989

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 60 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 40 = 60 kN/m

Ответ

k_eq = 60 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics