Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 36 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 36 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 24 m/s², направленное вверх, в течение 2 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Через сколько времени после старта она упадёт на землю? Найдите t.

a = 24 m/s²t₁ = 2 sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 3 m/s и останавливается через 1,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 3 m/sd = 1,5 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 35 N тянет передний брусок массой 9 kg; брусок массой 12 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 12 kgm₂ = 9 kgF = 35 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 30 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 32 m/s под углом 40° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 9 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 32 m/sθ = 40°h_roof = 9 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,9 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую частоту вращения n в оборотах в минуту.

r = 2,9 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,2 kg на нити длиной 1,4 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 7,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,2 kgr = 1,4 mv = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 2 kg висит на лёгкой нити длиной 2 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 90° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 2 kgL = 2 mθ = 90°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2,5 kgh = 1,5 mL = 1 mμ = 0,3k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 7 kg, движущийся горизонтально со скоростью 7 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 3 kg продолжает движение вперёд со скоростью 53 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 4 kg (положительна в исходном направлении).

M = 7 kgu = 7 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 53 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 12 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 3,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,1 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 30° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 12 gM = 3,5 kgL = 1,1 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Двигатель развивает крутящий момент 60 N·m при 2800 rpm. Найдите его выходную мощность P в kW.

T = 60 N·mn = 2800 rpm

P = kW

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный сплошной диск (масса 7 kg, радиус 0,2 m) свободно вращается с частотой 1050 rpm на вертикальном валу без трения. На него без начальной скорости опускается тонкое кольцо массой 5 kg того же радиуса, центрированное на валу, и оба тела быстро начинают вращаться вместе. Найдите их общую частоту вращения n₂ в rpm.

M_disc = 7 kgM_ring = 5 kgR = 0,2 mn₁ = 1050 rpm

n₂ = rpm

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 2,2 kW с частотой 2900 rpm приводит червяк с числом заходов 2. Червячное колесо имеет 30 зубьев, КПД передачи 85%. Найдите выходной вращающий момент T_w на валу колеса.

z = 2N_w = 30n = 2900 rpmP = 2,2 kWη = 85%

T_w = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (18 зуб.) на входном валу вращается с частотой 1500 rpm и приводит колесо B (36 зуб.). Колесо C (24 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (50 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 1500 rpmA = 18B = 36C = 24D = 50

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 0,9 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 0,9 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,6 kg на пружине с k = 300 N/m оттягивают на 16 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 1,6 kgk = 300 N/mA = 16 cm

a_max = m/s²

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 50 kg на пружине жёсткостью 8 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,6. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 50 kgk = 8 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 20 kg висит на пружине k₃ = 60 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 80 kN/m и k₂ = 12 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 20 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 2,222 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/4,5 = 2,222 s

Ответ

t = 2,222 s

2.Кинематика

Ответ: t = 12,7 s

Активный участок

v₁ = 24·2 = 48 m/s

h₁ = ½·24·2² = 48 m

Свободный полёт до земли

Решите −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² и возьмите положительный корень.

t₂ = (48 + √(48² + 2·9,81·48))/9,81 = 10,7 s

t = 2 + 10,7 = 12,7 s

Ответ

t = 12,7 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,3058

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 3²/(2·1,5) = 3 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3/9,81 = 0,3058

Ответ

μ = 0,3058

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 20 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (35 − 20,6)/21 = 0,6857 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 12·(0,6857 + 0,981) = 20 N

Ответ

T = 20 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 5,297 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 60° = 15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 60° = 25,98 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·25,98/9,81 = 5,297 s

Ответ

t = 5,297 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 90,63 m

Разложите начальную скорость

v_x = 24,51 m/s, v_y = 20,57 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

9 = 20,57·t − 4,905·t²

t = (20,57 + √(20,57² − 2·9,81·9))/9,81 = 3,697 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 24,51·3,697 = 90,63 m

Ответ

x = 90,63 m

7.Движение по окружности

Ответ: n = 27,77 rpm

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,4·2,9)) = 2,908 rad/s

Частота вращения

n = ω·60/(2π) = 27,77 rpm

Ответ

n = 27,77 rpm

8.Движение по окружности

Ответ: T = 9,998 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,2·9,81 + 0,2·7,5²/1,4 = 1,962 + 8,036 = 9,998 N

Ответ

T = 9,998 N

9.Работа и энергия

Ответ: T = 58,86 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 90°) = 39,24 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

T = mg + mv²/L = 19,62 + 2·39,24/2 = 58,86 N

Ответ

T = 58,86 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 58,86 N.

10.Работа и энергия

Ответ: x = 12,13 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(1,5 − 0,3·1) = 29,43 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 29,43 → x = √(2·29,43/4000) = 0,1213 m = 12,13 cm

Ответ

x = 12,13 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −27,5 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Импульс до удара

p = M·u = 7·7 = 49 kg·m/s

Импульс после удара

49 = 3·53 + 4·v′₂

v′₂ = (49 − 159)/4 = −27,5 m/s

Ответ

v′₂ = −27,5 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 497,7 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,1·(1 − cos 30°) = 0,1474 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,1474) = 1,7 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 3,512·1,7/0,012 = 497,7 m/s

Ответ

v = 497,7 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: P = 17,59 kW

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·2800/60 = 293,2 rad/s

Мощность

P = T·ω = 60·293,2 = 17593 W = 17,59 kW

Ответ

P = 17,59 kW

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: n₂ = 432,4 rpm

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Моменты инерции

I₁ = ½·7·0,2² = 0,14 kg·m²

I₂ = 5·0,2² = 0,2 kg·m²

Закон сохранения момента импульса

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 1050·0,14/0,34 = 432,4 rpm

Ответ

n₂ = 432,4 rpm

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_w = 92,36 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения колеса

n_w = n·z/N_w = 2900·2/30 = 193,3 rpm

Выходной крутящий момент

ω_w = 2π·193,3/60 = 20,25 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,85·2200/20,25 = 92,36 N·m

Ответ

T_w = 92,36 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 360 rpm

Первая ступень

n_B = 1500·18/36 = 750 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 750·24/50 = 360 rpm

Ответ

n_out = 360 rpm

общее передаточное отношение = 4,167 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,2013 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,9/2π)² = 0,2013 m

Ответ

L = 0,2013 m

18.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 30 m/s²

Угловая частота

ω = √(300/1,6) = 13,69 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,16·13,69² = 30 m/s²

Ответ

a_max = 30 m/s²

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 1,611 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(8000/50) = 12,65 rad/s

f_n = 12,65/(2π) = 2,013 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,013·√(1 − 0,6²) = 1,611 Hz

Ответ

f_d = 1,611 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 6,782 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 80 + 12 = 92 kN/m

k_eq = 92·60/(92 + 60) = 36,32 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(36316/20) = 42,61 rad/s

f_n = 42,61/(2π) = 6,782 Hz

Ответ

f_n = 6,782 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics