Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 2,25 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 1600 m.

v₀ = 0a = 2,25 m/s²s = 1600 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 13 m/s с края крыши на высоте 25 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 13 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 4 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 4 kgθ = 25°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 1 kgm₂ = 4 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 18 m/s под углом 35° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 19 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 18 m/sθ = 35°x = 19 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 16 m/s под углом 45° к горизонту с вершины обрыва высотой 25 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v, с которой он ударяется о землю.

v₀ = 16 m/sθ = 45°h = 25 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 50 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 50 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 270 m имеет вираж с уклоном 20°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую скорость v_min, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вниз по виражу.

r = 270 mθ = 20°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 5 m вдоль плоскости.

θ = 30°μ = 0,2d = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 1000 N/m у основания наклонной плоскости 15° сжимают на 12 cm бруском массой 5 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 5 kgk = 1000 N/mx = 12 cmθ = 15°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3,5 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,4 kg ударяется о стену со скоростью 9 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 15 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,4 kgv_in = 9 m/sv_out = 15 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 6 kg и длиной 1,2 m закреплён шарниром на одном конце и удерживается горизонтально. Его отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его угловое ускорение α сразу после освобождения.

m = 6 kgL = 1,2 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 35° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его скорость v после того, как он прокатился 5,5 m вдоль склона.

θ = 35°s = 5,5 mI = m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 15 kW с частотой вращения 1440 rpm приводит шестерню с 20 зубьями и модулем 4 mm. Найдите окружную силу F_t на зубьях шестерни.

P = 15 kWn = 1440 rpmN₁ = 20m = 4 mm

F_t = N

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (16 зуб.) на входном валу вращается с частотой 2900 rpm и приводит колесо B (40 зуб.). Колесо C (12 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (45 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 2900 rpmA = 16B = 40C = 12D = 45

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,4 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,4 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,9 kg на пружине с k = 470 N/m оттягивают на 11 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 1,9 kgk = 470 N/mA = 11 cm

a_max = m/s²

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 500 kg на пружине жёсткостью 80 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,3. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 500 kgk = 80 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 25 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 5 kN/m, у нижней k₂ = 10 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 25 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 84,85 m/s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·2,25·1600) = 84,85 m/s

Ответ

v = 84,85 m/s

(305,5 km/h)

2.Кинематика

Ответ: t = 3,943 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−25 = 13·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 13·t − 25 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (13 + √(13² + 2·9,81·25))/9,81 = 3,943 s

Ответ

t = 3,943 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,146 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0) = 4,146 m/s²

Ответ

a = 4,146 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 7,848 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 0)/5 = 7,848 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·7,848 + 0 = 7,848 N

Ответ

T = 7,848 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 5,159 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Время до стены

v_x = 18·cos 35° = 14,74 m/s

t = x/v_x = 19/14,74 = 1,289 s

Высота в этот момент

y = 10,32·1,289 − ½·9,81·1,289² = 5,159 m

Ответ

y = 5,159 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v = 27,32 m/s

Разложите начальную скорость

v_x = 16·cos 45° = 11,31 m/s

v_y0 = 16·sin 45° = 11,31 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(11,31² + 2·9,81·25) = 24,87 m/s

Скорость при ударе

v = √(11,31² + 24,87²) = 27,32 m/s

Ответ

v = 27,32 m/s

Проверка по энергии: v² = v₀² + 2gh.

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 12,13 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·50) = 12,13 m/s

Ответ

v_max = 12,13 m/s (43,67 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 25,97 m/s

Балансы сил

Трение направлено вверх по склону.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(270·9,81·0,2481/0,9739) = 25,97 m/s

Ответ

v_min = 25,97 m/s

(93,5 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: v = 5,662 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·5·(0,5 − 0,2·0,866)) = 5,662 m/s

Ответ

v = 5,662 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: d = 0,413 m

Энергия пружины

x = 12 cm = 0,12 m

½kx² = ½·1000·0,12² = 7,2 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 7,2/(49,05·(0,2588 + 0,1·0,9659)) = 0,413 m

Ответ

d = 0,413 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 3,111 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3,5 − 1)/(3,5 + 1)·2 = 1,111 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 1)·2 = 3,111 m/s

Ответ

v′₂ = 3,111 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 960 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,4·(15 + 9) = 9,6 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 9,6/0,01 = 960 N

Ответ

F_avg = 960 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: α = 12,26 rad/s²

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Моменты относительно шарнира

В момент освобождения ω = 0, поэтому центростремительного ускорения нет, и центр ускоряется строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1,2) = 12,26 rad/s²

Ответ

α = 12,26 rad/s²

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 5,563 m/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Высота спуска

h = s·sin θ = 5,5·sin 35° = 3,155 m

Энергетический баланс при качении

Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9,81·3,155/2) = 5,563 m/s

Ответ

v = 5,563 m/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: F_t = 2487 N

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Вращающий момент на шестерне

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 15000/150,8 = 99,47 N·m

Делительный диаметр

d = m·N = 4·20 = 80 mm

Окружная сила

F_t = 2T/d = 2·99,47/0,08 = 2487 N

Ответ

F_t = 2487 N

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 309,3 rpm

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Первая ступень

n_B = 2900·16/40 = 1160 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 1160·12/45 = 309,3 rpm

Ответ

n_out = 309,3 rpm

общее передаточное отношение = 9,375 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,487 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,4/2π)² = 0,487 m

Ответ

L = 0,487 m

18.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 27,21 m/s²

Угловая частота

ω = √(470/1,9) = 15,73 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,11·15,73² = 27,21 m/s²

Ответ

a_max = 27,21 m/s²

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 1,92 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(80000/500) = 12,65 rad/s

f_n = 12,65/(2π) = 2,013 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,013·√(1 − 0,3²) = 1,92 Hz

Ответ

f_d = 1,92 Hz

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 3,333 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/10 → k_eq = 5·10/(5 + 10) = 3,333 kN/m

Ответ

k_eq = 3,333 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics