Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 180 km/h, а длина полосы 1800 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 180 km/hs = 1800 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 8 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 8 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 20 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 15° к горизонту с силой 140 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 20 kgF = 140 Nθ = 15°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 6 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 6 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 28 m/s под углом 20° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 21 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 28 m/sθ = 20°x = 21 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 25 m/s под углом 60° к горизонту с вершины обрыва высотой 35 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 25 m/sθ = 60°h = 35 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 1,7 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую угловую скорость ω в rad/s.

r = 1,7 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 130 m имеет вираж с уклоном 20°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 130 mθ = 20°μ_s = 0,25g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 200 N/m. На неё кладут мяч массой 0,05 kg, сжимают пружину на 5 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,05 kgk = 200 N/mx = 5 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,15). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 3 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 1,5 m.

m₁ = 5 kgm₂ = 3 kgμ = 0,15d = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 8 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 3,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 3 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 8 gM = 3,5 kgh = 3 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1500 kg, едущий на восток со скоростью 20 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1200 kg, едущим на север со скоростью 11 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 1500 kgv₁ = 20 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 11 m/s (N)

v′ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 12 kg и длиной 1,3 m закреплён шарниром на одном конце и удерживается горизонтально. Его отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a_tip свободного конца сразу после освобождения.

m = 12 kgL = 1,3 mg = 9,81 m/s²

a_tip = m/s²

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной цилиндр массой 10,5 kg катится без проскальзывания со скоростью 10 m/s. Найдите его полную кинетическую энергию E_k.

m = 10,5 kgv = 10 m/sI = ½·m·r²

E_k = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 1,1 kW с частотой вращения 960 rpm приводит шестерню с числом зубьев 24, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 32. КПД зубчатой пары — 95 %. Найдите выходной крутящий момент T₂ на валу колеса.

P = 1,1 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 24N₂ = 32η = 95%

T₂ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (18 зубьев) на входном валу вращается с частотой 960 rpm и приводит колесо B (80 зубьев). Колесо C (30 зубьев) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D на выходном валу. Выходной вал должен вращаться с частотой 135 rpm. Сколько зубьев N_D должно иметь колесо D?

n_in = 960 rpmA = 18B = 80C = 30n_out = 135 rpm

N_D =

17.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,8 m имеет период малых колебаний 1,68 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 0,8 mT = 1,68 s

g = m/s²

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 4 kg на пружине с k = 100 N/m оттягивают на 10 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 4 kgk = 100 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 12 mm через один цикл следует пик 9,3 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 12 mmx₁ = 9,3 mmn = 1

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 100 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 40 kN/m и k₂ = 5 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 100 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 0,6944 m/s²

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v = 180/3,6 = 50 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 50²/(2·1800) = 0,6944 m/s²

Ответ

a = 0,6944 m/s²

2.Кинематика

Ответ: t = 3,785 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−40 = 8·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 8·t − 40 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (8 + √(8² + 2·9,81·40))/9,81 = 3,785 s

Ответ

t = 3,785 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,362 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 196,2 − 140·sin 15° = 160 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 135,2 − 47,99

a = 87,24/20 = 4,362 m/s²

Ответ

a = 4,362 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,154 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 14,71)/8,5 = 1,154 m/s²

Ответ

a = 1,154 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 4,519 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Время до стены

v_x = 28·cos 20° = 26,31 m/s

t = x/v_x = 21/26,31 = 0,7981 s

Высота в этот момент

y = 9,577·0,7981 − ½·9,81·0,7981² = 4,519 m

Ответ

y = 4,519 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 58,89 m

Вертикальная начальная скорость

v_y = 25·sin 60° = 21,65 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 21,65²/(2·9,81) = 23,89 m

Высота над землёй

H = 35 + 23,89 = 58,89 m

Ответ

H = 58,89 m

7.Движение по окружности

Ответ: ω = 2,686 rad/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,8·1,7)) = 2,686 rad/s

Ответ

ω = 2,686 rad/s

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 29,35 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(130·9,81·0,5769/0,8542) = 29,35 m/s

Ответ

v_max = 29,35 m/s

(105,7 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: h = 0,5097 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·200·0,05² = 0,25 J

Высота

m·g = 0,05·9,81 = 0,4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0,25/0,4905 = 0,5097 m

Ответ

h = 0,5097 m

10.Работа и энергия

Ответ: v = 2,877 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 29,43·1,5 = 44,14 J

μ·m₁g·d = 0,15·49,05·1,5 = 11,04 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 33,11 → v = √(2·33,11/8) = 2,877 m/s

Ответ

v = 2,877 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 336,4 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,03) = 0,7672 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 3,5)·0,7672/0,008 = 336,4 m/s

Ответ

v = 336,4 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 12,14 m/s

Составляющие импульса

p_x = 1500·20 = 30000 kg·m/s

p_y = 1200·11 = 13200 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 32776/2700 = 12,14 m/s

Ответ

v′ = 12,14 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: a_tip = 14,71 m/s²

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Моменты относительно шарнира

В момент освобождения ω = 0, поэтому центростремительного ускорения нет, и центр ускоряется строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1,3) = 11,32 rad/s²

Ускорение свободного конца

a_tip = α·L = 11,32·1,3 = 14,71 m/s²

Ответ

a_tip = 14,71 m/s²

a_tip = 1,5·g при любой длине: свободный конец падает быстрее брошенного камня.

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: E_k = 787,5 J

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·10,5·10² = 525 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,5·m·r²·(v/r)² = 0,5·525 = 262,5 J

Итого

E_k = 525 + 262,5 = 787,5 J

Ответ

E_k = 787,5 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₂ = 13,86 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/100,5 = 10,94 N·m

Выходной крутящий момент

T₂ = 10,94·32/24·0,95 = 13,86 N·m

Ответ

T₂ = 13,86 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N_D = 48

Частота вращения промежуточного вала

n_B = n_C = 960·18/80 = 216 rpm

Число зубьев колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 30·216/135 = 48

Ответ

N_D = 48

17.Пружины и маятники

Ответ: g = 11,19 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,8/1,68² = 11,19 m/s²

Ответ

g = 11,19 m/s²

18.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 2,5 m/s²

Угловая частота

ω = √(100/4) = 5 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,1·5² = 2,5 m/s²

Ответ

a_max = 2,5 m/s²

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,04053

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/1)·ln(12/9,3) = 0,2549

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2549/√(39,48 + 0,06497) = 0,04053

Ответ

ζ = 0,04053

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 45 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 5 = 45 kN/m

Ответ

k_eq = 45 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics